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Bac 2025

Bac 2025 – Mathématiques – Amérique du Nord – Sujet 1 : correction détaillée

Spécialité Maths · 4 h · coefficient 16 · Jour 1 · 4 exercices (probabilités, suites, espace, fonctions)

Corrigé

Correction rédigée par l'équipe BAC Révision, non officielle. Les énoncés sont reformulés avec leurs données : refais toujours les calculs et compare avec ton professeur.

Où trouver le sujet ? Cette page présente la correction. Le sujet officiel complet (PDF) et ses figures sont dans l'application BAC Révision.

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Exercice 1 : Connexions à un réseau d'entreprise (probabilités)6 points

Trois serveurs A, B, C reçoivent 25 %, 15 % et 60 % des connexions ; une connexion est stable avec la probabilité 0,90 (A), 0,80 (B), 0,85 (C). Partie A : arbre et probabilités conditionnelles ; partie B : loi binomiale, Bienaymé-Tchebychev.

A1Compléter l'arbre pondéré : A (0,25), B (0,15), C (le reste) puis S ou S̄ sur chaque serveur.Touche pour voir la correction

À retenir Les probabilités issues d'un même nœud ont pour somme 1.

Démarche
  1. P(C) = 1 − 0,25 − 0,15 = 0,60.
  2. Branches du serveur A : S 0,90 et S̄ 0,10.
  3. Serveur B : S 0,80 et S̄ 0,20.
  4. Serveur C : S 0,85 et S̄ 0,15.

RéponseA : 0,25 (S 0,90 ; S̄ 0,10) ; B : 0,15 (S 0,80 ; S̄ 0,20) ; C : 0,60 (S 0,85 ; S̄ 0,15)

A2Démontrer que P(B∩S) = 0,12.Touche pour voir la correction

À retenir Probabilité conditionnelle : P(A∩B) = P(A) × P_A(B).

Démarche
  1. P(B∩S) = P(B) × P_B(S).
  2. = 0,15 × 0,80 = 0,12.

RéponseP(B∩S) = 0,12

A3Calculer P(C∩S̄) et l'interpréter.Touche pour voir la correction

À retenir Probabilité conditionnelle : P(C∩S̄) = P(C) × P_C(S̄) ; on interprète en pourcentage dans le contexte.

Démarche
  1. P(C∩S̄) = P(C) × P_C(S̄) = 0,60 × 0,15 = 0,09.
  2. Rédaction possible : « Il y a 9 % de chances qu'une connexion prise au hasard ait transité par C et ait été instable. »

RéponseP(C∩S̄) = 0,09 : 9 % des connexions passent par le serveur C et sont instables.

A4Démontrer que P(S) = 0,855.Touche pour voir la correction

À retenir Formule des probabilités totales sur la partition {A, B, C}.

Démarche
  1. P(A∩S) = 0,25 × 0,90 = 0,225.
  2. P(B∩S) = 0,12 ; P(C∩S) = 0,60 × 0,85 = 0,51.
  3. P(S) = 0,225 + 0,12 + 0,51 = 0,855.

RéponseP(S) = 0,855

Vérification Contrôle : P(S̄) = 0,025 + 0,03 + 0,09 = 0,145 (valeur donnée en partie B).

A5Sachant que la connexion est stable, calculer la probabilité qu'elle ait eu lieu depuis B (arrondie au millième).Touche pour voir la correction

À retenir Probabilité conditionnelle : P_S(B) = P(B∩S) ÷ P(S).

Démarche
  1. P_S(B) = 0,12 ÷ 0,855.
  2. ≈ 0,1404.

RéponseP_S(B) ≈ 0,140

B1aX = nombre de connexions instables parmi 50 connexions indépendantes (probabilité 0,145). Préciser la loi de X.Touche pour voir la correction

À retenir Répétition de n épreuves indépendantes à deux issues : loi binomiale B(n ; p).

Démarche
  1. Chaque connexion est une épreuve de Bernoulli (instable avec p = 0,145).
  2. Les 50 épreuves sont identiques et indépendantes (tirage assimilé avec remise).

RéponseX suit la loi binomiale B(50 ; 0,145)

B1bProbabilité qu'au plus huit connexions soient instables (au millième).Touche pour voir la correction

À retenir On lit P(X ≤ 8) avec la fonction de répartition de la calculatrice.

Démarche
  1. P(X ≤ 8) = somme, de k = 0 à 8, des C(50 ; k) × 0,145^k × 0,855^(50−k).
  2. Calculatrice (loi binomiale, fonction de répartition, n = 50, p = 0,145, k = 8) : P(X ≤ 8) ≈ 0,7045, soit 0,704 au millième.

RéponseP(X ≤ 8) ≈ 0,704

B2aExpression de p_n, probabilité qu'au moins une connexion de l'échantillon de n soit instable.Touche pour voir la correction

À retenir « Au moins un » : on passe par l'événement contraire « aucun ».

Démarche
  1. P(X_n = 0) = 0,855^n.
  2. p_n = 1 − 0,855^n.

Réponsep_n = 1 − 0,855^n

B2bPlus petit n tel que p_n ≥ 0,99.Touche pour voir la correction

À retenir On isole 0,855^n puis on utilise le logarithme (ln est croissant, ln 0,855 < 0).

Démarche
  1. 1 − 0,855^n ≥ 0,99 équivaut à 0,855^n ≤ 0,01.
  2. n × ln 0,855 ≤ ln 0,01, donc n ≥ ln 0,01 ÷ ln 0,855 (on change le sens car ln 0,855 < 0).
  3. ln 0,01 ÷ ln 0,855 ≈ 29,4, donc n ≥ 30.

Réponsen = 30

Vérification Contrôle : 0,855^30 ≈ 0,0091 ≤ 0,01 et 0,855^29 ≈ 0,0106 > 0,01.

Piège Ne pas oublier de renverser l'inégalité en divisant par un logarithme négatif.

B3aCalculer E(F_n) avec F_n = X_n ÷ n.Touche pour voir la correction

À retenir E(aX) = aE(X) et E(X_n) = np pour une binomiale.

Démarche
  1. E(X_n) = 0,145 n.
  2. E(F_n) = E(X_n) ÷ n = 0,145.

RéponseE(F_n) = 0,145

B3bVérifier que P(|F_n − 0,145| ≥ 0,1) ≤ 12,5 ÷ n, sachant V(F_n) = 0,123975 ÷ n.Touche pour voir la correction

À retenir Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : P(|F − E(F)| ≥ δ) ≤ V(F) ÷ δ².

Démarche
  1. Avec δ = 0,1 : P ≤ (0,123975 ÷ n) ÷ 0,01 = 12,3975 ÷ n.
  2. Or 12,3975 ≤ 12,5 donc P ≤ 12,5 ÷ n.

RéponseP(|F_n − 0,145| ≥ 0,1) ≤ 12,3975/n ≤ 12,5/n

B3cPour n = 1000, F = 0,3 : le responsable a-t-il raison de soupçonner un dysfonctionnement ?Touche pour voir la correction

À retenir On compare l'écart observé à l'écart donné par l'inégalité : si un événement est très peu probable, l'observer est suspect.

Démarche
  1. |0,3 − 0,145| = 0,155 ≥ 0,1.
  2. Pour n = 1000, la probabilité d'un tel écart est ≤ 12,5 ÷ 1000 = 0,0125, soit environ 1,25 %.
  3. Observer un événement aussi improbable si le modèle (0,145) était correct est très peu vraisemblable.

RéponseOui : un écart aussi grand n'a qu'au plus 1,25 % de chances d'arriver si 14,5 % des connexions sont instables ; le soupçon est justifié.

Piège Ce n'est pas une preuve : c'est un seuil de décision (risque d'erreur d'au plus 1,25 %).

Exercice 2 : Suite homographique u_{n+1} = (2u_n+1)/(u_n+2)5 points

u_0 = 2 et u_{n+1} = (2u_n + 1) ÷ (u_n + 2). Suite auxiliaire a_n = u_n ÷ (u_n − 1) ; la relation u_n = a_n ÷ (a_n − 1) demandée en 3.a le confirme.

1Calculer u_1.Touche pour voir la correction

À retenir On remplace u_n par u_0.

Démarche
  1. u_1 = (2 × 2 + 1) ÷ (2 + 2) = 5/4.

Réponseu_1 = 5/4 = 1,25

2aCalculer a_0 et a_1.Touche pour voir la correction

À retenir a_n = u_n ÷ (u_n − 1).

Démarche
  1. a_0 = 2 ÷ (2 − 1) = 2.
  2. a_1 = (5/4) ÷ (5/4 − 1) = (5/4) ÷ (1/4) = 5.

Réponsea_0 = 2 et a_1 = 5

Vérification Contrôle avec 2.b : 3 × 2 − 1 = 5.

2bDémontrer que a_{n+1} = 3a_n − 1.Touche pour voir la correction

À retenir On calcule u_{n+1} − 1 puis on forme le quotient.

Démarche
  1. u_{n+1} − 1 = (2u_n + 1 − u_n − 2) ÷ (u_n + 2) = (u_n − 1) ÷ (u_n + 2).
  2. a_{n+1} = [(2u_n + 1) ÷ (u_n + 2)] × [(u_n + 2) ÷ (u_n − 1)] = (2u_n + 1) ÷ (u_n − 1).
  3. On écrit 2u_n + 1 = 3u_n − (u_n − 1), donc a_{n+1} = 3u_n ÷ (u_n − 1) − 1 = 3a_n − 1.

Réponsea_{n+1} = 3a_n − 1

2cDémontrer par récurrence que a_n ≥ 3n − 1 pour n ≥ 1.Touche pour voir la correction

À retenir Récurrence : initialisation, hérédité (on utilise a_{n+1} = 3a_n − 1), conclusion.

Démarche
  1. Initialisation : a_1 = 5 ≥ 3 × 1 − 1 = 2.
  2. Hérédité : on suppose a_n ≥ 3n − 1 pour un n ≥ 1. Alors a_{n+1} = 3a_n − 1 ≥ 3(3n − 1) − 1 = 9n − 4.
  3. Or 9n − 4 ≥ 3(n + 1) − 1 = 3n + 2 équivaut à 6n ≥ 6, vrai pour n ≥ 1.
  4. Donc a_{n+1} ≥ 3(n + 1) − 1 : la propriété est héréditaire, donc vraie pour tout n ≥ 1.

Réponsea_n ≥ 3n − 1 pour tout n ≥ 1

2dEn déduire la limite de (a_n).Touche pour voir la correction

À retenir Théorème de comparaison (minoration par une suite qui tend vers +∞).

Démarche
  1. 3n − 1 tend vers +∞.
  2. a_n ≥ 3n − 1, donc a_n tend vers +∞.

Réponselim a_n = +∞

3aDémontrer que u_n = a_n ÷ (a_n − 1).Touche pour voir la correction

À retenir On isole u_n dans la définition de a_n (u_n ≠ 1).

Démarche
  1. a_n = u_n ÷ (u_n − 1) donc a_n(u_n − 1) = u_n.
  2. a_n u_n − a_n = u_n, donc u_n(a_n − 1) = a_n.
  3. a_n ≠ 1 (a_n ≥ 2), donc u_n = a_n ÷ (a_n − 1).

Réponseu_n = a_n/(a_n − 1)

Piège Il faut s'assurer que a_n − 1 ≠ 0 avant de diviser.

3bEn déduire la limite de (u_n).Touche pour voir la correction

À retenir On écrit u_n = 1 + 1 ÷ (a_n − 1).

Démarche
  1. u_n = a_n ÷ (a_n − 1) = 1 + 1 ÷ (a_n − 1).
  2. a_n → +∞ donc 1 ÷ (a_n − 1) → 0.

Réponselim u_n = 1

4aInterpréter les valeurs n et u renvoyées par algo(p).Touche pour voir la correction

À retenir La boucle while continue tant que u − 1 > p : elle s'arrête au premier rang où u − 1 ≤ p.

Démarche
  1. u prend les valeurs u_0, u_1, … ; n compte le nombre d'itérations.
  2. La fonction renvoie le plus petit rang n tel que u_n − 1 ≤ p, et la valeur u_n correspondante.

Réponsen est le plus petit rang pour lequel u_n est à moins de p de la limite 1 (u_n − 1 ≤ p) ; u est la valeur de u_n à ce rang.

4bDonner la valeur de n pour p = 0,001 (sans justifier).Touche pour voir la correction

À retenir On cherche u_n − 1 = 1 ÷ (a_n − 1) ≤ 0,001.

Démarche
  1. a_n = 1,5 × 3^n + 0,5 (car a_{n+1} − 0,5 = 3(a_n − 0,5)).
  2. u_n − 1 = 1 ÷ (1,5 × 3^n − 0,5) : pour n = 5, ≈ 0,0027 ; pour n = 6, ≈ 0,00091.

Réponsen = 6 (u ≈ 1,00091)

Vérification Vérifié par exécution de l'algorithme : n = 6.

Exercice 3 : Droite, plan et angle dans l'espace (vrai/faux)4 points

Droite (d) : x = 3 − 2t, y = −1, z = 2 − 6t. Points A(3 ; −3 ; −2), B(5 ; −4 ; −1), C point de (d) d'abscisse 2, H projeté orthogonal de B sur le plan 𝒫 : x + 3z − 7 = 0. Vecteur directeur de (d) : (−2 ; 0 ; −6), colinéaire à (1 ; 0 ; 3).

1Affirmation 1 : (d) et l'axe des ordonnées ne sont pas coplanaires.Touche pour voir la correction

À retenir Deux droites sont coplanaires si elles sont parallèles ou sécantes.

Démarche
  1. Vecteur directeur de (d) : (1 ; 0 ; 3) ; de l'axe : (0 ; 1 ; 0) : non colinéaires, donc non parallèles.
  2. Un point de l'axe a pour coordonnées (0 ; y ; 0). Sur (d), x = 0 donne t = 3/2 et alors z = 2 − 9 = −7 ≠ 0 : aucune intersection.
  3. Ni parallèles ni sécantes : non coplanaires.

RéponseVRAI

Piège Penser à tester l'intersection ET le parallélisme avant de conclure.

2Affirmation 2 : le plan passant par A et orthogonal à (d) a pour équation x + 3z + 3 = 0.Touche pour voir la correction

À retenir Un vecteur directeur de la droite est un vecteur normal du plan.

Démarche
  1. Normal (1 ; 0 ; 3) : x + 3z + d = 0.
  2. A(3 ; −3 ; −2) : 3 − 6 + d = 0 donc d = 3.

RéponseVRAI : x + 3z + 3 = 0

3Affirmation 3 : une mesure de l'angle BAC est π/6.Touche pour voir la correction

À retenir cos(BAC) = (AB·AC) ÷ (AB × AC).

Démarche
  1. C : x = 2 donne 3 − 2t = 2, t = 1/2, d'où C(2 ; −1 ; −1).
  2. AB = (2 ; −1 ; 1), AC = (−1 ; 2 ; 1).
  3. AB·AC = −2 − 2 + 1 = −3 ; AB = AC = √6.
  4. cos(BAC) = −3/6 = −1/2, donc BAC = 2π/3.

RéponseFAUX : l'angle vaut 2π/3 (120°)

4Affirmation 4 : BH = √10/2.Touche pour voir la correction

À retenir Distance d'un point à un plan : |ax + by + cz + d| ÷ √(a² + b² + c²).

Démarche
  1. B(5 ; −4 ; −1) : 5 + 3 × (−1) − 7 = −5.
  2. BH = 5 ÷ √(1 + 9) = 5/√10 = 5√10/10 = √10/2.

RéponseVRAI

Exercice 4 : Courbes de g et g', équation différentielle, fonction f5 points

Partie A : lecture des courbes C1 (passe par (0 ; 1)) et C2 (passe par (0 ; 2), (−2 ; 0) et (1 ; 0)). Partie B : équation y + y' = (2x + 3)e^{−x}. Partie C : f(x) = (x² + 3x + 2)e^{−x}.

Documents du sujet Cet exercice s'appuie sur des figures ou documents du sujet : Partie A : courbes C1 (trait plein) et C2 (pointillés). Ils sont affichés avec la correction dans l'application.

A1Associer g et g' à leurs courbes.Touche pour voir la correction

À retenir Le sens de variation de g se lit sur le signe de g'.

Démarche
  1. Lecture : C2 (pointillés) coupe l'axe des abscisses en x = −2 et x = 1, et C1 (trait plein) présente un minimum en x = −2 et un maximum en x = 1.
  2. Une dérivée s'annule aux extremums de la fonction : les zéros de C2 coïncident avec les extremums de C1, donc C2 est la dérivée de C1.
  3. Cohérence : C1 est décroissante sur ]−∞ ; −2] où C2 est négative, croissante sur [−2 ; 1] où C2 est positive, décroissante après 1 où C2 est négative.
  4. Contre-épreuve : si g était représentée par C2 et g' par C1, on aurait g(0) = 2 et g'(0) = 1, donc une tangente y = x + 2 en 0, ce qui contredit l'énoncé (y = 2x + 1).

Réponseg est représentée par C1 (trait plein) et g' par C2 (pointillés).

A2Justifier que la tangente en 0 à la courbe de g est y = 2x + 1.Touche pour voir la correction

À retenir Tangente en a : y = g'(a)(x − a) + g(a).

Démarche
  1. g(0) = 1 (C1 passe par (0 ; 1)).
  2. g'(0) = 2 (C2 passe par (0 ; 2)).
  3. y = 2(x − 0) + 1 = 2x + 1.

Réponsey = 2x + 1

B1Montrer que f_0(x) = (x² + 3x)e^{−x} est solution de (E) : y + y' = (2x + 3)e^{−x}.Touche pour voir la correction

À retenir On dérive f_0 (produit u·v) puis on calcule f_0 + f_0'.

Démarche
  1. f_0'(x) = (2x + 3)e^{−x} − (x² + 3x)e^{−x}.
  2. f_0 + f_0' = (x² + 3x)e^{−x} + (2x + 3)e^{−x} − (x² + 3x)e^{−x} = (2x + 3)e^{−x}.

Réponsef_0 est solution de (E)

B2Résoudre (E_0) : y + y' = 0.Touche pour voir la correction

À retenir y' = −y a pour solutions Ce^{−x}.

Démarche
  1. y' = −y, donc y(x) = Ce^{−x}, C réel.

Réponsey(x) = Ce^{−x}, C ∈ ℝ

B3Déterminer les solutions de (E).Touche pour voir la correction

À retenir Solutions de (E) = solution particulière + solutions de (E_0).

Démarche
  1. y(x) = f_0(x) + Ce^{−x} = (x² + 3x + C)e^{−x}.

Réponsey(x) = (x² + 3x + C)e^{−x}, C ∈ ℝ

B4Déterminer g sachant que g est solution de (E) (partie A).Touche pour voir la correction

À retenir On utilise la valeur lue g(0) = 1.

Démarche
  1. g(0) = (0 + 0 + C)e^0 = C = 1.
  2. g(x) = (x² + 3x + 1)e^{−x}.

Réponseg(x) = (x² + 3x + 1)e^{−x}

Vérification g'(x) = (−x² − x + 2)e^{−x} = −(x + 2)(x − 1)e^{−x} : racines −2 et 1 et g'(0) = 2, conforme à C2.

B5Solutions de (E) dont la courbe a exactement deux points d'inflexion.Touche pour voir la correction

À retenir Un point d'inflexion : y'' s'annule en changeant de signe.

Démarche
  1. y = (x² + 3x + C)e^{−x}.
  2. y' = (2x + 3 − x² − 3x − C)e^{−x} = (−x² − x + 3 − C)e^{−x}.
  3. y'' = (−2x − 1 + x² + x − 3 + C)e^{−x} = (x² − x + C − 4)e^{−x}.
  4. Deux points d'inflexion : le trinôme x² − x + C − 4 a deux racines distinctes, donc Δ = 1 − 4(C − 4) = 17 − 4C > 0.
  5. C < 17/4.

RéponseLes solutions y(x) = (x² + 3x + C)e^{−x} avec C < 17/4

Piège Si C = 17/4, la racine est double : y'' ne change pas de signe, donc pas d'inflexion.

C1Limite de f(x) = (x² + 3x + 2)e^{−x} en +∞.Touche pour voir la correction

À retenir Croissances comparées : x^n e^{−x} → 0 en +∞.

Démarche
  1. f(x) = x²e^{−x} + 3xe^{−x} + 2e^{−x}.
  2. Chaque terme tend vers 0.

Réponselim f = 0 en +∞

C2aVérifier que f'(x) = (−x² − x + 1)e^{−x}.Touche pour voir la correction

À retenir Dérivée de u·v avec u = x² + 3x + 2 et v = e^{−x}.

Démarche
  1. f'(x) = (2x + 3)e^{−x} − (x² + 3x + 2)e^{−x}.
  2. = (2x + 3 − x² − 3x − 2)e^{−x} = (−x² − x + 1)e^{−x}.

Réponsef'(x) = (−x² − x + 1)e^{−x}

C2bSigne de f' et variations de f.Touche pour voir la correction

À retenir e^{−x} > 0 : le signe est celui du trinôme −x² − x + 1.

Démarche
  1. Δ = 1 + 4 = 5 ; racines x_1 = (−1 − √5)/2 ≈ −1,618 et x_2 = (−1 + √5)/2 ≈ 0,618.
  2. Le coefficient de x² est négatif : f' > 0 entre x_1 et x_2, f' < 0 à l'extérieur.
  3. f décroît sur ]−∞ ; x_1], croît sur [x_1 ; x_2], décroît sur [x_2 ; +∞[.
  4. Valeurs : f(x_1) = (2 − √5)e^{−x_1} ≈ −1,19 (minimum local) ; f(x_2) = (2 + √5)e^{−x_2} ≈ 2,28 (maximum local).

Réponsef décroissante, puis croissante sur [x_1 ; x_2], puis décroissante ; limites +∞ en −∞ et 0 en +∞

Piège Pour x_1 et x_2, x² = 1 − x donc x² + 3x + 2 = 2x + 3 : cela simplifie f(x_1) = (2x_1 + 3)e^{−x_1} = (2 − √5)e^{−x_1} et f(x_2) = (2 + √5)e^{−x_2}.

C3Pourquoi f est-elle positive sur [0 ; +∞[ ?Touche pour voir la correction

À retenir Produit de deux facteurs positifs.

Démarche
  1. Pour x ≥ 0, x² + 3x + 2 ≥ 2 > 0.
  2. e^{−x} > 0 pour tout x. Donc f(x) > 0.

Réponsef(x) > 0 sur [0 ; +∞[ car x² + 3x + 2 > 0 et e^{−x} > 0

C4Aire 𝒜(α) du domaine entre l'axe des abscisses, C_f, x = 0 et x = α (α ≥ 0).Touche pour voir la correction

À retenir f ≥ 0 sur [0 ; α] : l'aire est l'intégrale de f, soit F(α) − F(0).

Démarche
  1. 𝒜(α) = ∫ de 0 à α de f(x)dx = F(α) − F(0).
  2. F(0) = (0 − 0 − 7)e^0 = −7.
  3. 𝒜(α) = (−α² − 5α − 7)e^{−α} + 7.

Réponse𝒜(α) = 7 − (α² + 5α + 7)e^{−α} unités d'aire

Vérification Quand α → +∞, 𝒜(α) → 7.

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