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Bac 2025

Bac 2025 – Mathématiques – Amérique du Nord – Sujet 2 : correction détaillée

Spécialité Maths · 4 h · coefficient 16 · 4 exercices (fonction, espace, probabilités, suite)

Corrigé

Correction rédigée par l'équipe BAC Révision, non officielle. Les énoncés sont reformulés avec leurs données : refais toujours les calculs et compare avec ton professeur.

Où trouver le sujet ? Cette page présente la correction. Le sujet officiel complet (PDF) et ses figures sont dans l'application BAC Révision.

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Exercice 1 : Étude de f(x) = xe^{−x} + 2x − 1 et calcul d'aire5 points

f(x) = xe^{−x} + 2x − 1 sur ℝ, C_f sa courbe, Δ : y = 2x − 1. Partie A : limites, convexité, variations, zéro, position relative ; partie B : aire par intégration par parties.

A1Limites de f en −∞ et en +∞.Touche pour voir la correction

À retenir Croissances comparées : xe^{−x} → 0 en +∞ ; en −∞, e^{−x} → +∞.

Démarche
  1. En +∞ : xe^{−x} → 0 et 2x − 1 → +∞, donc f → +∞.
  2. En −∞ : x → −∞ et e^{−x} → +∞ donc xe^{−x} → −∞ ; 2x − 1 → −∞, donc f → −∞.

Réponselim f = −∞ en −∞ ; lim f = +∞ en +∞

A2Calculer f'(x).Touche pour voir la correction

À retenir (uv)' = u'v + uv' avec u = x, v = e^{−x}.

Démarche
  1. (xe^{−x})' = e^{−x} − xe^{−x} = (1 − x)e^{−x}.
  2. f'(x) = (1 − x)e^{−x} + 2.

Réponsef'(x) = (1 − x)e^{−x} + 2

A3Montrer que f''(x) = (x − 2)e^{−x}.Touche pour voir la correction

À retenir On dérive f' une seconde fois.

Démarche
  1. f''(x) = −e^{−x} − (1 − x)e^{−x} = (−1 − 1 + x)e^{−x}.
  2. = (x − 2)e^{−x}.

Réponsef''(x) = (x − 2)e^{−x}

A4Étudier la convexité de f.Touche pour voir la correction

À retenir Le signe de f'' donne la convexité ; e^{−x} > 0.

Démarche
  1. f''(x) est du signe de x − 2.
  2. f'' < 0 sur ]−∞ ; 2[ et f'' > 0 sur ]2 ; +∞[.

Réponsef est concave sur ]−∞ ; 2] et convexe sur [2 ; +∞[ (point d'inflexion d'abscisse 2)

A5Variations de f' et tableau (valeur exacte de l'extremum).Touche pour voir la correction

À retenir Le signe de f'' donne les variations de f'.

Démarche
  1. f'' < 0 sur ]−∞ ; 2[ : f' décroît ; f'' > 0 sur ]2 ; +∞[ : f' croît.
  2. Minimum : f'(2) = (1 − 2)e^{−2} + 2 = 2 − e^{−2}.
  3. Tableau : f' décroît sur ]−∞ ; 2] jusqu'à 2 − e^{−2} ≈ 1,86 en x = 2, puis croît sur [2 ; +∞[ (les limites aux bornes ne sont pas demandées).

Réponsef' décroissante sur ]−∞ ; 2], croissante sur [2 ; +∞[, de minimum f'(2) = 2 − e^{−2}

A6Signe de f' ; f est-elle strictement croissante sur ℝ ?Touche pour voir la correction

À retenir Un minimum strictement positif suffit.

Démarche
  1. f'(2) = 2 − e^{−2} ≈ 1,86 > 0 car e^{−2} < 1.
  2. f' est supérieure ou égale à son minimum, donc f' > 0 sur ℝ.
  3. f est donc strictement croissante.

Réponsef'(x) > 0 sur ℝ : f est strictement croissante

A7Montrer qu'il existe un unique α avec f(α) = 0 ; encadrer au centième.Touche pour voir la correction

À retenir Théorème des valeurs intermédiaires (corollaire : fonction continue strictement monotone).

Démarche
  1. f est continue, strictement croissante, de limite −∞ en −∞ et +∞ en +∞.
  2. 0 appartient à l'image : il existe un unique α tel que f(α) = 0.
  3. Encadrement : f(0,37) ≈ −0,0044 < 0 < f(0,38) ≈ 0,0199, donc 0,37 < α < 0,38 ; α ≈ 0,3718.

Réponseα existe et est unique ; 0,37 < α < 0,38 (α ≈ 0,372)

A8Position relative de C_f et de Δ : y = 2x − 1.Touche pour voir la correction

À retenir On étudie le signe de f(x) − (2x − 1).

Démarche
  1. f(x) − (2x − 1) = xe^{−x}.
  2. e^{−x} > 0, donc le signe est celui de x.

RéponseC_f est au-dessus de Δ pour x > 0, en dessous pour x < 0, et coupe Δ au point (0 ; −1)

B1Exprimer I_n = ∫ de 1 à n de xe^{−x}dx par intégration par parties.Touche pour voir la correction

À retenir ∫u'v = [uv] − ∫uv' avec u' = e^{−x}, v = x.

Démarche
  1. u(x) = −e^{−x}, v(x) = x, v' = 1.
  2. I_n = [−xe^{−x}] de 1 à n + ∫ de 1 à n de e^{−x}dx.
  3. = −ne^{−n} + e^{−1} + [−e^{−x}] de 1 à n = −ne^{−n} + e^{−1} − e^{−n} + e^{−1}.

RéponseI_n = 2/e − (n + 1)e^{−n}

Vérification Vérification de la primitive : (−x − 1)e^{−x} a pour dérivée −e^{−x} + (x + 1)e^{−x} = xe^{−x}.

B2aJustifier que l'aire de D_n est I_n.Touche pour voir la correction

À retenir Aire entre deux courbes : intégrale de la différence (courbe du haut moins courbe du bas).

Démarche
  1. Sur [1 ; n], f(x) − (2x − 1) = xe^{−x} ≥ 0 (A8) : C_f est au-dessus de Δ.
  2. Aire = ∫ de 1 à n de [f(x) − (2x − 1)]dx = ∫ de 1 à n de xe^{−x}dx = I_n.

RéponseAire(D_n) = I_n

B2bLimite de l'aire de D_n quand n tend vers +∞.Touche pour voir la correction

À retenir ne^{−n} → 0 et e^{−n} → 0.

Démarche
  1. (n + 1)e^{−n} = ne^{−n} + e^{−n} → 0.
  2. I_n → 2/e.

Réponselim Aire(D_n) = 2/e ≈ 0,736 unité d'aire

Exercice 2 : Droites et plans dans l'espace (vrai/faux)5 points

Droite D : x = 3 − t, y = −2 + 3t, z = 1 + 4t (vecteur directeur (−1 ; 3 ; 4)) ; plan P : 2x − 3y + z − 6 = 0 (vecteur normal (2 ; −3 ; 1)).

1Affirmation : D' (x = 2 + 2t, y = 4 − 6t, z = 9 − 8t) est parallèle à D.Touche pour voir la correction

À retenir Droites parallèles : vecteurs directeurs colinéaires.

Démarche
  1. Vecteur directeur de D' : (2 ; −6 ; −8) = −2 × (−1 ; 3 ; 4).
  2. Colinéaires : les droites sont parallèles (confondues si un point commun ; ici (2 ; 4 ; 9) n'est pas sur D car t = 1 donne y = 1 ≠ 4 : strictement parallèles).

RéponseVRAI

2A(−2 ; 3 ; 1), B(1 ; 3 ; −4), C(6 ; 3 ; 9) non alignés. Affirmation : D est orthogonale au plan (ABC).Touche pour voir la correction

À retenir D orthogonale au plan : son vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.

Démarche
  1. AB = (3 ; 0 ; −5) et AC = (8 ; 0 ; 8).
  2. Vecteur directeur de D : u(−1 ; 3 ; 4). u·AB = −3 + 0 − 20 = −23 ≠ 0.
  3. Conclusion : u n'est pas orthogonal à AB, donc D n'est pas orthogonale au plan (ABC).

RéponseFAUX : u·AB ≠ 0

Vérification Il suffit d'un seul vecteur du plan non orthogonal à u pour conclure : D n'est pas orthogonale au plan (ABC).

3Affirmation : D est sécante avec Δ (x = −4 + 2t', y = 1 − 3t', z = 2 + t').Touche pour voir la correction

À retenir Sécantes : un point commun (système).

Démarche
  1. On égale : 3 − t = −4 + 2t', −2 + 3t = 1 − 3t', 1 + 4t = 2 + t'.
  2. Première : t = 7 − 2t'. Deuxième : −2 + 21 − 6t' = 1 − 3t' donc t' = 6 et t = −5.
  3. Troisième : 1 + 4(−5) = −19 alors que 2 + 6 = 8 : contradiction.

RéponseFAUX : pas de point commun (et directions non colinéaires : D et Δ ne sont même pas coplanaires)

4Affirmation : F(−3 ; −3 ; 3) est le projeté orthogonal de E(−5 ; 0 ; 2) sur P.Touche pour voir la correction

À retenir Projeté orthogonal : F dans P et EF colinéaire au vecteur normal.

Démarche
  1. EF = (2 ; −3 ; 1) = vecteur normal de P : colinéaire.
  2. F dans P : 2(−3) − 3(−3) + 3 − 6 = −6 + 9 + 3 − 6 = 0.

RéponseVRAI

5Affirmation : il existe exactement une valeur de a telle que P' : −3x + y − a²z + 3 = 0 soit parallèle à D.Touche pour voir la correction

À retenir Droite parallèle à un plan : vecteur directeur orthogonal au vecteur normal.

Démarche
  1. Normal de P' : (−3 ; 1 ; −a²) ; directeur de D : (−1 ; 3 ; 4).
  2. Produit scalaire : 3 + 3 − 4a² = 0 donc a² = 3/2.
  3. Deux solutions : a = √(3/2) et a = −√(3/2).

RéponseFAUX : il y a deux valeurs, a = ±√6/2

Piège a² et non a : ne pas oublier la valeur opposée.

Exercice 3 : Contamination et vaccination (probabilités)5 points

2 % de la population contaminée, 90 % vaccinée, 62 % des contaminés étaient vaccinés. Arrondis à 10^{−4}.

1Donner P(C), P(V) et P_C(V).Touche pour voir la correction

À retenir On lit les pourcentages de l'énoncé.

Démarche
  1. P(C) = 0,02 ; P(V) = 0,90.
  2. « 62 % des personnes contaminées avaient été vaccinées » : P_C(V) = 0,62.

RéponseP(C) = 0,02 ; P(V) = 0,9 ; P_C(V) = 0,62

2aCalculer P(C∩V).Touche pour voir la correction

À retenir Probabilité conditionnelle : P(A∩B) = P(A) × P_A(B) ; formule des probabilités totales.

Démarche
  1. P(C∩V) = P(C) × P_C(V) = 0,02 × 0,62 = 0,0124.

RéponseP(C∩V) = 0,0124

2bEn déduire P(C̄∩V).Touche pour voir la correction

À retenir P(V) = P(C∩V) + P(C̄∩V).

Démarche
  1. P(C̄∩V) = 0,9 − 0,0124 = 0,8876.

RéponseP(C̄∩V) = 0,8876

3Compléter l'arbre.Touche pour voir la correction

À retenir Sur chaque branche, la probabilité conditionnelle.

Démarche
  1. P_C(V) = 0,62 donc P_C(V̄) = 0,38.
  2. P_C̄(V) = 0,8876 ÷ 0,98 ≈ 0,9057 et P_C̄(V̄) ≈ 0,0943.

RéponseC : 0,02 (V 0,62 ; V̄ 0,38) ; C̄ : 0,98 (V ≈ 0,9057 ; V̄ ≈ 0,0943)

4Calculer P_V(C) et interpréter.Touche pour voir la correction

À retenir P_V(C) = P(C∩V) ÷ P(V).

Démarche
  1. P_V(C) = P(C∩V) ÷ P(V) = 0,0124 ÷ 0,9 ≈ 0,0138.
  2. Interprétation : la probabilité qu'une personne vaccinée, choisie au hasard, ait été contaminée est d'environ 1,38 % (à comparer à 2 % pour l'ensemble de la population).

RéponseP_V(C) ≈ 0,0138 : environ 1,38 % des personnes vaccinées ont été contaminées

5a« Parmi les non-contaminés, il y a dix fois plus de vaccinés que de non-vaccinés. »Touche pour voir la correction

À retenir On compare P(C̄∩V) et P(C̄∩V̄).

Démarche
  1. P(V̄) = 0,1 ; P(C∩V̄) = 0,02 − 0,0124 = 0,0076 ; P(C̄∩V̄) = 0,1 − 0,0076 = 0,0924.
  2. Rapport : 0,8876 ÷ 0,0924 ≈ 9,6.

RéponseFAUX : environ 9,6 fois plus, pas 10

5b« Plus de 98 % de la population vaccinée n'a pas été contaminée. »Touche pour voir la correction

À retenir Il s'agit de P_V(C̄).

Démarche
  1. P_V(C̄) = 1 − P_V(C) ≈ 1 − 0,0138 = 0,9862.
  2. 0,9862 > 0,98.

RéponseVRAI : environ 98,6 %

6aLoi de X, nombre de contaminés dans un échantillon de 20 personnes (tirages avec remise, p = 0,02).Touche pour voir la correction

À retenir Succession de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes : loi binomiale.

Démarche
  1. 20 répétitions indépendantes d'une épreuve à deux issues (contaminée ou non), de probabilité de succès 0,02.

RéponseX suit la loi binomiale B(20 ; 0,02)

6bCalculer P(X = 4) en rappelant la formule.Touche pour voir la correction

À retenir P(X = k) = C(n ; k) p^k (1 − p)^(n−k).

Démarche
  1. P(X = 4) = C(20 ; 4) × 0,02^4 × 0,98^16.
  2. C(20 ; 4) = 4845 ; 0,02^4 = 1,6 × 10^{−7} ; 0,98^16 ≈ 0,7238.
  3. Produit ≈ 0,00056.

RéponseP(X = 4) = C(20 ; 4) × 0,02^4 × 0,98^16 ≈ 0,0006 (au 10^{-4} près ; valeur 0,00056)

Exercice 4 : Suite u_{n+2} = u_{n+1} − u_n/45 points

u_0 = 0, u_1 = 1/2, u_{n+2} = u_{n+1} − (1/4)u_n. Suite auxiliaire w_n = u_{n+1} − (1/2)u_n.

A1Compléter le tableau des u_n pour n de 0 à 5.Touche pour voir la correction

À retenir On applique u_{n+2} = u_{n+1} − u_n/4.

Démarche
  1. u_2 = 1/2 − 0 = 1/2.
  2. u_3 = u_2 − u_1/4 = 1/2 − 1/8 = 3/8.
  3. u_4 = 3/8 − (1/2)/4 = 3/8 − 1/8 = 1/4.
  4. u_5 = 1/4 − (3/8)/4 = 1/4 − 3/32 = 5/32.

Réponse0 ; 1/2 ; 1/2 ; 3/8 ; 1/4 ; 5/32

A2Conjecturer la limite de (u_n).Touche pour voir la correction

À retenir On observe que les termes diminuent à partir de n = 2.

Démarche
  1. 0,5 ; 0,5 ; 0,375 ; 0,25 ; 0,156…

RéponseConjecture : lim u_n = 0

B1Calculer w_0.Touche pour voir la correction

À retenir w_0 = u_1 − u_0/2.

Démarche
  1. w_0 = 1/2 − 0 = 1/2.

Réponsew_0 = 1/2

B2Démontrer que (w_n) est géométrique de raison 1/2.Touche pour voir la correction

À retenir On exprime w_{n+1} avec u_{n+2} = u_{n+1} − u_n/4.

Démarche
  1. w_{n+1} = u_{n+2} − (1/2)u_{n+1} = u_{n+1} − (1/4)u_n − (1/2)u_{n+1}.
  2. = (1/2)u_{n+1} − (1/4)u_n = (1/2)(u_{n+1} − (1/2)u_n) = (1/2)w_n.

Réponsew_{n+1} = (1/2)w_n : géométrique de raison 1/2

B3Exprimer w_n en fonction de n.Touche pour voir la correction

À retenir w_n = w_0 × q^n.

Démarche
  1. w_n = (1/2) × (1/2)^n = (1/2)^{n+1}.

Réponsew_n = (1/2)^{n+1}

B4Montrer que u_{n+1} = (1/2)^{n+1} + (1/2)u_n.Touche pour voir la correction

À retenir On isole u_{n+1} dans la définition de w_n.

Démarche
  1. w_n = u_{n+1} − (1/2)u_n donc u_{n+1} = w_n + (1/2)u_n = (1/2)^{n+1} + (1/2)u_n.

Réponseu_{n+1} = (1/2)^{n+1} + (1/2)u_n

B5Démontrer par récurrence que u_n = n(1/2)^n.Touche pour voir la correction

À retenir Récurrence avec la relation de B4.

Démarche
  1. Initialisation : u_0 = 0 = 0 × (1/2)^0.
  2. Hérédité : si u_n = n(1/2)^n, alors u_{n+1} = (1/2)^{n+1} + (1/2) × n(1/2)^n = (1/2)^{n+1} + n(1/2)^{n+1} = (n + 1)(1/2)^{n+1}.
  3. La propriété est héréditaire : vraie pour tout n.

Réponseu_n = n(1/2)^n pour tout n ∈ ℕ

C1Montrer que (u_n) est décroissante à partir du rang 1.Touche pour voir la correction

À retenir Signe de u_{n+1} − u_n.

Démarche
  1. u_{n+1} − u_n = (n + 1)/2^{n+1} − n/2^n = (n + 1 − 2n)/2^{n+1} = (1 − n)/2^{n+1}.
  2. Pour n ≥ 1, 1 − n ≤ 0 donc u_{n+1} − u_n ≤ 0.

Réponseu_{n+1} ≤ u_n pour n ≥ 1 : décroissante à partir de n = 1

C2En déduire que (u_n) est convergente.Touche pour voir la correction

À retenir Théorème : une suite décroissante et minorée converge.

Démarche
  1. u_n = n(1/2)^n ≥ 0 : la suite est minorée par 0.
  2. Décroissante à partir du rang 1 et minorée : elle converge.

Réponse(u_n) converge

C3Déterminer la limite sachant qu'elle vérifie l = l − l/4.Touche pour voir la correction

À retenir On résout l'équation.

Démarche
  1. l = l − l/4 donne l/4 = 0, donc l = 0.

Réponselim u_n = 0

Vérification Résultat conforme à la conjecture et à u_n = n/2^n (croissances comparées).

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