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Bac 2025

Bac 2025 – Mathématiques – Asie (remplacement) : correction détaillée

Spécialité Maths · 4 h · coefficient 16 · session de remplacement · 4 exercices (fonction, espace, binomiale, probabilités et suite)

Corrigé

Correction rédigée par l'équipe BAC Révision, non officielle. Les énoncés sont reformulés avec leurs données : refais toujours les calculs et compare avec ton professeur.

Où trouver le sujet ? Cette page présente la correction. Le sujet officiel complet (PDF) et ses figures sont dans l'application BAC Révision.

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Exercice 1 : f(x) = xe^{−2x} : cinq affirmations5 points

f(x) = xe^{−2x} sur ℝ, deux fois dérivable. Pour chaque affirmation, dire vrai ou faux et justifier.

1Affirmation 1 : f'(x) = (−2x + 1)e^{−2x}.Touche pour voir la correction

À retenir (uv)' avec u = x, v = e^{−2x}, v' = −2e^{−2x}.

Démarche
  1. f'(x) = e^{−2x} + x × (−2)e^{−2x} = (1 − 2x)e^{−2x}.

RéponseVRAI

2Affirmation 2 : f est solution de y' + 2y = e^{−2x}.Touche pour voir la correction

À retenir On calcule f' + 2f.

Démarche
  1. f' + 2f = (1 − 2x)e^{−2x} + 2xe^{−2x} = e^{−2x}.

RéponseVRAI

3Affirmation 3 : f est convexe sur ]−∞ ; 1].Touche pour voir la correction

À retenir Le signe de f'' donne la convexité.

Démarche
  1. f''(x) = −2e^{−2x} − 2(1 − 2x)e^{−2x} = (4x − 4)e^{−2x}.
  2. f'' < 0 pour x < 1 : f est concave sur ]−∞ ; 1].

RéponseFAUX : f est concave sur ]−∞ ; 1] (convexe sur [1 ; +∞[)

4Affirmation 4 : f(x) = −1 admet une unique solution sur ℝ.Touche pour voir la correction

À retenir Variations de f : f' est du signe de 1 − 2x.

Démarche
  1. f'(x) = (1 − 2x)e^{−2x} est positif sur ]−∞ ; 1/2] : f est continue et strictement croissante sur cet intervalle.
  2. En −∞, xe^{−2x} → −∞ ; au maximum, f(1/2) = 1/(2e) ≈ 0,18. Donc f prend sur ]−∞ ; 1/2] toutes les valeurs de ]−∞ ; 1/(2e)], en particulier −1, une seule fois.
  3. Sur [1/2 ; +∞[, f(x) = xe^{−2x} > 0 : f ne prend jamais la valeur −1. L'équation f(x) = −1 a donc une unique solution (x < 0).

RéponseVRAI

Vérification Contrôle : f(x) < 0 si et seulement si x < 0, et f est strictement croissante sur ]−∞ ; 0].

5Affirmation 5 : l'aire entre C_f, l'axe des abscisses, x = 0 et x = 1 vaut 1/4 − 3e^{−2}/4.Touche pour voir la correction

À retenir f ≥ 0 sur [0 ; 1] : l'aire est l'intégrale de f ; primitive par parties.

Démarche
  1. Primitive de xe^{−2x} : G(x) = (−x/2 − 1/4)e^{−2x} (car G' = −(1/2)e^{−2x} − 2(−x/2 − 1/4)e^{−2x} = xe^{−2x}).
  2. ∫ de 0 à 1 = G(1) − G(0) = (−3/4)e^{−2} + 1/4.

RéponseVRAI : 1/4 − 3e^{−2}/4 ≈ 0,15 unité d'aire

Exercice 2 : Droite d'Euler dans un cube5 points

Cube ABCDEFGH d'arête 1 ; repère (A ; AB, AD, AE) ; I milieu de [AB], J milieu de [BG]. Donc A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), E(0;0;1), C(1;1;0), G(1;1;1).

Documents du sujet Cet exercice s'appuie sur des figures ou documents du sujet : Cube ABCDEFGH (A au fond à gauche, B devant à gauche, G au-dessus de C). Ils sont affichés avec la correction dans l'application.

1Coordonnées de A, B, G, I, J.Touche pour voir la correction

À retenir Le repère est (A ; AB, AD, AE) : G est au-dessus de C.

Démarche
  1. A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), G(1 ; 1 ; 1).
  2. I milieu de [AB] : (1/2 ; 0 ; 0).
  3. J milieu de [BG] : (1 ; 1/2 ; 1/2).

RéponseA(0;0;0), B(1;0;0), G(1;1;1), I(1/2;0;0), J(1;1/2;1/2)

2aReprésentation paramétrique de (AJ).Touche pour voir la correction

À retenir Point A et vecteur directeur AJ.

Démarche
  1. A(0 ; 0 ; 0) et J(1 ; 1/2 ; 1/2), donc AJ = (1 ; 1/2 ; 1/2).
  2. Tout point M de (AJ) vérifie AM = t·AJ, soit x = t, y = t/2, z = t/2.

Réponsex = t, y = t/2, z = t/2 (t ∈ ℝ)

2bMontrer qu'une représentation de (IG) est x = 1/2 + t/2, y = t, z = t.Touche pour voir la correction

À retenir Point I et vecteur IG = (1/2 ; 1 ; 1).

Démarche
  1. I(1/2 ; 0 ; 0) et G(1 ; 1 ; 1), donc IG = (1/2 ; 1 ; 1).
  2. M ∈ (IG) ⟺ IM = t'·IG avec t' ∈ ℝ : x = 1/2 + t'/2, y = t', z = t'. C'est bien la représentation proposée (en prenant t = t').

Réponsereprésentation paramétrique vérifiée

2cMontrer que (AJ) et (IG) sont sécantes en S(2/3 ; 1/3 ; 1/3).Touche pour voir la correction

À retenir Résolution du système en deux paramètres.

Démarche
  1. AJ : (s ; s/2 ; s/2). Égalité : s = 1/2 + t/2 et s/2 = t.
  2. t = s/2 donne s = 1/2 + s/4, donc s = 2/3 et t = 1/3.
  3. Troisième coordonnée : s/2 = 1/3 = t ✓. Point (2/3 ; 1/3 ; 1/3).

RéponseS(2/3 ; 1/3 ; 1/3)

3aMontrer que n(0 ; −1 ; 1) est normal à (ABG).Touche pour voir la correction

À retenir n orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.

Démarche
  1. AB = (1 ; 0 ; 0) et AG = (1 ; 1 ; 1) ne sont pas colinéaires : ils dirigent le plan (ABG).
  2. n · AB = 0×1 + (−1)×0 + 1×0 = 0.
  3. n · AG = 0 − 1 + 1 = 0.
  4. n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan : il est normal à (ABG).

Réponsen normal à (ABG)

3bÉquation cartésienne de (ABG).Touche pour voir la correction

À retenir −y + z + d = 0 avec A.

Démarche
  1. Une équation de (ABG) est 0x − y + z + d = 0.
  2. A(0 ; 0 ; 0) ∈ (ABG) donne d = 0.
  3. Vérification : B (y = z = 0) et G (y = z = 1) vérifient −y + z = 0.

Réponse−y + z = 0 (soit z = y)

3cLa droite (d) (x = 1/2, y = −t, z = 1 + t) coupe (ABG) en L(1/2 ; 1/2 ; 1/2).Touche pour voir la correction

À retenir On remplace dans l'équation du plan.

Démarche
  1. (d) passe par K(1/2 ; 0 ; 1) : x = 1/2, y = −t, z = 1 + t.
  2. Point commun avec (ABG) : −y + z = 0 donne t + 1 + t = 0, soit t = −1/2.
  3. On remplace : x = 1/2, y = 1/2, z = 1/2 : L(1/2 ; 1/2 ; 1/2), unique point d'intersection.

RéponseL(1/2 ; 1/2 ; 1/2)

3dL est équidistant de A, B et G.Touche pour voir la correction

À retenir Calcul de trois distances.

Démarche
  1. LA² = (1/2)² + (1/2)² + (1/2)² = 3/4.
  2. LB² = (1/2 − 1)² + (1/2 − 0)² + (1/2 − 0)² = 3/4.
  3. LG² = (1/2 − 1)² + (1/2 − 1)² + (1/2 − 1)² = 3/4.
  4. Les trois distances sont égales (√3/2).

RéponseLA = LB = LG = √3/2 (L est le centre du cercle circonscrit à ABG)

4Montrer que ABG est rectangle en B.Touche pour voir la correction

À retenir Produit scalaire nul.

Démarche
  1. BA = (−1 ; 0 ; 0), BG = (0 ; 1 ; 1).
  2. BA·BG = 0 : angle droit en B.

RéponseABG est rectangle en B

5aCentre du cercle circonscrit, centre de gravité, orthocentre de ABG.Touche pour voir la correction

À retenir Triangle rectangle : le cercle circonscrit est de diamètre l'hypoténuse [AG].

Démarche
  1. Centre du cercle circonscrit : milieu de [AG] = (1/2 ; 1/2 ; 1/2) = L.
  2. Centre de gravité : S(2/3 ; 1/3 ; 1/3) = isobarycentre ((0 + 1 + 1)/3 ; (0 + 0 + 1)/3 ; (0 + 0 + 1)/3).
  3. Orthocentre : le sommet de l'angle droit, B.

Réponsecercle circonscrit : L(1/2 ; 1/2 ; 1/2) ; centre de gravité : S(2/3 ; 1/3 ; 1/3) ; orthocentre : B(1 ; 0 ; 0)

5bVérifier que L, S, B sont alignés.Touche pour voir la correction

À retenir Vecteurs colinéaires.

Démarche
  1. Le centre du cercle circonscrit est L, le centre de gravité S, l'orthocentre B.
  2. LS = (2/3 − 1/2 ; 1/3 − 1/2 ; 1/3 − 1/2) = (1/6 ; −1/6 ; −1/6).
  3. LB = (1 − 1/2 ; 0 − 1/2 ; 0 − 1/2) = (1/2 ; −1/2 ; −1/2) = 3 × LS : les vecteurs sont colinéaires, donc L, S, B sont alignés (droite d'Euler).

RéponseLB = 3 LS : L, S, B alignés sur la droite d'Euler

Exercice 3 : QCM de dix questions au hasard4.75 points

Dominique répond au hasard à un QCM de 10 questions à 4 réponses dont une seule est exacte. X = nombre de bonnes réponses.

1Loi de X.Touche pour voir la correction

À retenir 10 épreuves identiques et indépendantes, succès avec probabilité 1/4.

Démarche
  1. Chaque question : une épreuve de Bernoulli (p = 1/4).
  2. Les réponses sont indépendantes.

RéponseX suit la loi B(10 ; 1/4)

2P(X = 5) à 10^{−4} près.Touche pour voir la correction

À retenir P(X = k) = C(n ; k)p^k(1 − p)^{n−k}.

Démarche
  1. C(10 ; 5) = 252.
  2. P(X = 5) = 252 × (1/4)^5 × (3/4)^5 = 252 × 243 ÷ 4^10 = 61 236 ÷ 1 048 576 ≈ 0,0584.

RéponseP(X = 5) ≈ 0,0584

3Espérance de X et interprétation.Touche pour voir la correction

À retenir E(X) = np.

Démarche
  1. E(X) = np = 10 × 1/4 = 2,5.
  2. Interprétation : en répondant au hasard un grand nombre de fois, Dominique obtient en moyenne 2,5 bonnes réponses par QCM.

RéponseE(X) = 2,5 : en répondant au hasard, on obtient en moyenne 2,5 bonnes réponses sur 10

4aP(Y = 10), valeur exacte.Touche pour voir la correction

À retenir Y = 10 ⟺ 10 bonnes réponses.

Démarche
  1. Y = 10 correspond à 10 bonnes réponses (aucune mauvaise réponse à retrancher).
  2. P(Y = 10) = P(X = 10) = (1/4)^10 = 1/1 048 576.

Réponse1/4^10 = 1/1 048 576

4bÀ partir de combien de bonnes réponses la note est-elle positive ?Touche pour voir la correction

À retenir Avec k bonnes réponses : k − 0,5(10 − k) = 1,5k − 5.

Démarche
  1. 1,5k − 5 ≥ 0 ⟺ k ≥ 10/3 ≈ 3,33.
  2. k doit être entier : k ≥ 4.

Réponseà partir de 4 bonnes réponses (3 bonnes réponses donnent −0,5)

4cP(Y ≤ 0), à 10^{−2} près.Touche pour voir la correction

À retenir Y ≤ 0 ⟺ X ≤ 3.

Démarche
  1. Y ≤ 0 ⟺ 1,5X − 5 ≤ 0 ⟺ X ≤ 10/3 ⟺ X ≤ 3.
  2. P(X ≤ 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) ≈ 0,0563 + 0,1877 + 0,2816 + 0,2503.
  3. Total ≈ 0,7759, soit 0,78 à 10^{−2} près (ou directement à la calculatrice).

RéponseP(Y ≤ 0) ≈ 0,78

4dMontrer que Y = 1,5X − 5.Touche pour voir la correction

À retenir Y = X − 0,5(10 − X).

Démarche
  1. Y = X − 0,5(10 − X) = X − 5 + 0,5X = 1,5X − 5.

RéponseY = 1,5X − 5

4eEspérance de Y.Touche pour voir la correction

À retenir Linéarité de l'espérance.

Démarche
  1. E(Y) = 1,5 E(X) − 5 = 1,5 × 2,5 − 5 = −1,25.

RéponseE(Y) = −1,25 : en répondant au hasard on perd en moyenne 1,25 point

Exercice 4 : Suite de probabilités p_n et paramètre x5.25 points

A_n événement, p_n = P(A_n), p_1 = 1. Parties A et B : P_{A_n}(A_{n+1}) = 0,3 et P_{Ā_n}(A_{n+1}) = 0,7. Partie C : P_{Ā_n}(A_{n+1}) = P_{A_n}(Ā_{n+1}) = x, avec x ∈ ]0 ; 1[.

Documents du sujet Cet exercice s'appuie sur des figures ou documents du sujet : Arbre de la partie A (à compléter) ; Arbre de la partie B (à compléter). Ils sont affichés avec la correction dans l'application.

A1Compléter l'arbre (étapes n → n+1).Touche pour voir la correction

À retenir Les branches issues d'un nœud ont pour somme 1.

Démarche
  1. Comme p_1 = 1, A_1 est réalisé : de A_1 on va en A_2 avec la probabilité 0,3 et en Ā_2 avec 0,7 (somme des branches = 1).
  2. De A_2 : A_3 avec 0,3 et Ā_3 avec 0,7 (somme des branches = 1).
  3. De Ā_2 : A_3 avec 0,7 et Ā_3 avec 0,3.

RéponseA_1 → A_2 : 0,3 ; A_1 → Ā_2 : 0,7 ; A_2 → A_3 : 0,3 ; A_2 → Ā_3 : 0,7 ; Ā_2 → A_3 : 0,7 ; Ā_2 → Ā_3 : 0,3

A2Montrer que p_3 = 0,58.Touche pour voir la correction

À retenir p_2 = 0,3 (A_1 certain).

Démarche
  1. p_2 = 0,3, 1 − p_2 = 0,7.
  2. p_3 = 0,3 × 0,3 + 0,7 × 0,7 = 0,09 + 0,49 = 0,58.

Réponsep_3 = 0,58

A3Calculer P_{A_3}(A_2) à 10^{−2}.Touche pour voir la correction

À retenir P_{A_3}(A_2) = P(A_2∩A_3) ÷ P(A_3).

Démarche
  1. P_{A_3}(A_2) = P(A_3 ∩ A_2) ÷ P(A_3) (formule de Bayes / définition).
  2. P(A_2 ∩ A_3) = P(A_2) × P_{A_2}(A_3) = 0,3 × 0,3 = 0,09 ; P(A_3) = 0,58.
  3. 0,09 ÷ 0,58 ≈ 0,1552, soit 0,16 à 10^{−2} près.

Réponse≈ 0,16

B1Compléter l'arbre avec p_n.Touche pour voir la correction

À retenir Même arbre avec P(A_n) = p_n et P(Ā_n) = 1 − p_n.

Démarche
  1. A_n (p_n) : A_{n+1} 0,3 ; Ā_{n+1} 0,7.
  2. Ā_n (1 − p_n) : A_{n+1} 0,7 ; Ā_{n+1} 0,3.

Réponsearbre complété

B2aMontrer que p_{n+1} = −0,4p_n + 0,7.Touche pour voir la correction

À retenir Probabilités totales.

Démarche
  1. p_{n+1} = 0,3p_n + 0,7(1 − p_n) = −0,4p_n + 0,7.

Réponsep_{n+1} = −0,4p_n + 0,7

B2bu_n = p_n − 0,5 est géométrique : raison, premier terme.Touche pour voir la correction

À retenir On calcule u_{n+1}.

Démarche
  1. u_{n+1} = −0,4p_n + 0,7 − 0,5 = −0,4p_n + 0,2 = −0,4(p_n − 0,5) = −0,4u_n.
  2. u_1 = p_1 − 0,5 = 0,5.

Réponsegéométrique de raison −0,4, de premier terme u_1 = 0,5

B2cExpressions de u_n et p_n.Touche pour voir la correction

À retenir u_n = u_1 × q^{n−1}.

Démarche
  1. u_n = 0,5 × (−0,4)^{n−1}.
  2. p_n = 0,5 × (−0,4)^{n−1} + 0,5.

Réponseu_n = 0,5(−0,4)^{n−1} ; p_n = 0,5(−0,4)^{n−1} + 0,5

B2dLimite de (p_n).Touche pour voir la correction

À retenir −1 < −0,4 < 1.

Démarche
  1. −1 < −0,4 < 1, donc (−0,4)^{n−1} → 0 quand n → +∞.
  2. Donc u_n → 0 et p_n = u_n + 0,5 → 0,5.

Réponselim p_n = 0,5

C1Montrer p_{n+1} = (1 − 2x)p_n + x.Touche pour voir la correction

À retenir Probabilités totales avec P_{A_n}(A_{n+1}) = 1 − x et P_{Ā_n}(A_{n+1}) = x.

Démarche
  1. p_{n+1} = (1 − x)p_n + x(1 − p_n).
  2. = p_n − xp_n + x − xp_n = (1 − 2x)p_n + x.

Réponsep_{n+1} = (1 − 2x)p_n + x

C2Récurrence : p_n = (1/2)(1 − 2x)^{n−1} + 1/2.Touche pour voir la correction

À retenir Initialisation n = 1 et hérédité.

Démarche
  1. n = 1 : (1/2) × 1 + 1/2 = 1 = p_1.
  2. Hérédité : p_{n+1} = (1 − 2x)[(1/2)(1 − 2x)^{n−1} + 1/2] + x = (1/2)(1 − 2x)^n + 1/2 − x + x = (1/2)(1 − 2x)^n + 1/2.

Réponsepropriété vraie pour tout n ≥ 1

C3Convergence de (p_n) et limite.Touche pour voir la correction

À retenir x ∈ ]0 ; 1[ donc −1 < 1 − 2x < 1.

Démarche
  1. x ∈ ]0 ; 1[ donc 0 < 2x < 2, d'où −1 < 1 − 2x < 1.
  2. Une suite géométrique de raison q avec |q| < 1 converge vers 0 : (1 − 2x)^{n−1} → 0.
  3. Donc p_n → 0 + 1/2 = 1/2 : (p_n) converge vers 1/2, quelle que soit la valeur de x.

Réponse(p_n) converge vers 1/2

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