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Bac 2025

Bac 2025 – Mathématiques – Asie – Sujet 1 : correction détaillée

Spécialité Maths · 4 h · coefficient 16 · Jour 1 · 4 exercices (espace, probabilités, suite, fonction)

Corrigé

Correction rédigée par l'équipe BAC Révision, non officielle. Les énoncés sont reformulés avec leurs données : refais toujours les calculs et compare avec ton professeur.

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Exercice 1 : Plan, droite et sphère dans l'espace (vrai/faux)5 points

A(1 ; 1 ; 0), B(2 ; 1 ; 0), C(α ; 3 ; α) ; (d) : x = 1 + t, y = 2t, z = −t, de vecteur directeur (1 ; 2 ; −1).

1Affirmation 1 : pour tout α, A, B, C définissent un plan de vecteur normal (0 ; 1 ; 0).Touche pour voir la correction

À retenir Vecteur normal : orthogonal à AB et AC.

Démarche
  1. AB = (1 ; 0 ; 0) et AC = (α − 1 ; 2 ; α) : non colinéaires (la coordonnée y de AC vaut 2), donc A, B, C définissent bien un plan.
  2. n(0 ; 1 ; 0) : n·AB = 0 mais n·AC = 2 ≠ 0.
  3. Un vecteur normal est (0 ; α ; −2) : n·AB = 0 et n·AC = 2α − 2α = 0.

RéponseFAUX : (0 ; 1 ; 0) n'est pas orthogonal à AC

2Affirmation 2 : il existe exactement un α pour que (AC) soit parallèle à (d).Touche pour voir la correction

À retenir Parallèles ⟺ vecteurs colinéaires.

Démarche
  1. AC = (α − 1 ; 2 ; α), directeur de (d) (1 ; 2 ; −1).
  2. Colinéaires : AC = k(1 ; 2 ; −1) donne k = 1 (y), α − 1 = 1 donc α = 2, mais α = −k = −1 : contradiction.

RéponseFAUX : aucune valeur de α

3Affirmation 3 : une mesure de l'angle OAB est 135°.Touche pour voir la correction

À retenir cos = (AO·AB) ÷ (AO × AB).

Démarche
  1. AO = (−1 ; −1 ; 0), AB = (1 ; 0 ; 0).
  2. AO·AB = −1 ; AO = √2 ; AB = 1.
  3. cos(OAB) = −1/√2 = −√2/2, donc OAB = 135°.

RéponseVRAI

4Affirmation 4 : le projeté orthogonal de A sur (d) est H(1 ; 2 ; 2).Touche pour voir la correction

À retenir H appartient à (d) et AH est orthogonal au vecteur directeur.

Démarche
  1. H(1 ; 2 ; 2) ∈ (d) ? x = 1 donne t = 0, alors y = 0 ≠ 2 : non.
  2. Le vrai projeté : H(1 + t ; 2t ; −t), AH = (t ; 2t − 1 ; −t), AH·(1 ; 2 ; −1) = t + 4t − 2 + t = 6t − 2 = 0 donc t = 1/3 : H(4/3 ; 2/3 ; −1/3).

RéponseFAUX : le projeté est H(4/3 ; 2/3 ; −1/3)

5Affirmation 5 : la sphère de centre O et de rayon 1 rencontre (d) en deux points distincts.Touche pour voir la correction

À retenir On résout OM² = 1.

Démarche
  1. OM² = (1 + t)² + 4t² + t² = 6t² + 2t + 1.
  2. 6t² + 2t + 1 = 1 donne 2t(3t + 1) = 0 : t = 0 ou t = −1/3.
  3. Points (1 ; 0 ; 0) et (2/3 ; −2/3 ; 1/3).

RéponseVRAI : deux points distincts

Exercice 2 : Tests de fabrication et de sécurité de jouets5 points

95 % des jouets réussissent le test de fabrication ; parmi ceux-là, 98 % réussissent le test de sécurité ; 1 % ne réussissent aucun test.

A1P(F) et P_F(S).Touche pour voir la correction

À retenir On lit l'énoncé.

Démarche
  1. P(F) = 0,95 ; P_F(S) = 0,98.

RéponseP(F) = 0,95 ; P_F(S) = 0,98

A2aConstruire l'arbre pondéré.Touche pour voir la correction

À retenir Branches : F (0,95) puis S 0,98 / S̄ 0,02 ; F̄ (0,05).

Démarche
  1. Premier niveau : F (0,95) et F̄ (0,05).
  2. Branches issues de F : S 0,98 et S̄ 0,02.
  3. Branches issues de F̄ : S̄ 0,2 et S 0,8 (valeur justifiée à la question suivante).

RéponseF 0,95 → S 0,98 ; S̄ 0,02. F̄ 0,05 → S̄ 0,2 ; S 0,8 (la valeur 0,2 est établie en A2b)

A2bMontrer que P_F̄(S̄) = 0,2 (probabilité qu'un jouet rate le test de sécurité sachant qu'il a raté le test de fabrication).Touche pour voir la correction

À retenir 1 % de jouets échouent aux deux : P(F̄∩S̄) = 0,01.

Démarche
  1. F̄ : « le jouet rate le test de fabrication », P(F̄) = 1 − 0,95 = 0,05.
  2. « Aucun des deux tests réussi » = F̄ ∩ S̄ : P(F̄ ∩ S̄) = 0,01.
  3. P_F̄(S̄) = P(F̄ ∩ S̄) ÷ P(F̄) = 0,01 ÷ 0,05 = 0,2.
  4. Dans l'arbre : F̄ (0,05) → S̄ 0,2 et S 0,8.

RéponseP_F̄(S̄) = 0,2

Vérification Vérification : P_F̄(S) = 0,8, donc P(F̄∩S) = 0,05 × 0,8 = 0,04 ; on retrouve P(S) = 0,931 + 0,04 = 0,971.

A3Probabilité de réussir les deux tests.Touche pour voir la correction

À retenir Probabilité conditionnelle : P(A∩B) = P(A) × P_A(B) ; formule des probabilités totales.

Démarche
  1. Réussir les deux tests : événement F∩S.
  2. P(F∩S) = P(F) × P_F(S) = 0,95 × 0,98 = 0,931.

Réponse0,931

A4Montrer que P(S) ≈ 0,97 au centième.Touche pour voir la correction

À retenir Probabilités totales.

Démarche
  1. P(F̄∩S) = P(F̄) × P_F̄(S) = 0,05 × 0,8 = 0,04.
  2. P(S) = P(F∩S) + P(F̄∩S) = 0,931 + 0,04 = 0,971 ≈ 0,97 au centième.

RéponseP(S) = 0,971 ≈ 0,97

A5Sachant S, probabilité de F (au centième).Touche pour voir la correction

À retenir P_S(F) = P(F∩S) ÷ P(S).

Démarche
  1. P_S(F) = P(F∩S) ÷ P(S) = 0,931 ÷ 0,971.
  2. ≈ 0,9588, soit 0,96 au centième.

Réponse≈ 0,96

B1Espérance et variance de S_n ~ B(n ; 0,95).Touche pour voir la correction

À retenir E = np ; V = np(1 − p).

Démarche
  1. E(S_n) = 0,95n.
  2. V(S_n) = n × 0,95 × 0,05 = 0,0475n.

RéponseE(S_n) = 0,95n ; V(S_n) = 0,0475n

B2aP(S_150 = 145) à 10^{−3} près et interprétation.Touche pour voir la correction

À retenir Formule binomiale.

Démarche
  1. S_150 suit B(150 ; 0,95) : P(S_150 = 145) = C(150 ; 145) × 0,95^145 × 0,05^5.
  2. C(150 ; 145) = 150!/(145! × 5!) ; la calculatrice donne ≈ 0,1088, soit 0,109 à 10^{−3} près.

Réponse≈ 0,109 : environ 10,9 % de chances que, sur 150 jouets, exactement 145 réussissent le test de fabrication

B2bProbabilité qu'au moins 94 % des jouets du lot de 150 réussissent le test.Touche pour voir la correction

À retenir 94 % de 150 = 141 : on cherche P(S_150 ≥ 141).

Démarche
  1. 94 % de 150 jouets = 141 jouets : l'événement est S_150 ≥ 141.
  2. P(S_150 ≥ 141) = 1 − P(S_150 ≤ 140).
  3. À la calculatrice : ≈ 0,7809, soit 0,781 à 10^{−3} près.

Réponse≈ 0,781

B3aE(F_n) = 0,95 et V(F_n) = 0,0475/n.Touche pour voir la correction

À retenir E(aX) = aE(X) ; V(aX) = a²V(X).

Démarche
  1. E(F_n) = 0,95n ÷ n = 0,95.
  2. V(F_n) = 0,0475n ÷ n² = 0,0475/n.

RéponseE(F_n) = 0,95 ; V(F_n) = 0,0475/n

B3bAvec Bienaymé-Tchebychev, trouver n tel que P(I) ≥ 0,96 où I : 0,93 < F_n < 0,97.Touche pour voir la correction

À retenir I ⟺ |F_n − 0,95| < 0,02.

Démarche
  1. I : 0,93 < F_n < 0,97 ⟺ |F_n − 0,95| < 0,02.
  2. Bienaymé-Tchebychev : P(|F_n − E(F_n)| ≥ 0,02) ≤ V(F_n) ÷ 0,02² = (0,0475/n) ÷ 0,0004 = 118,75/n.
  3. Donc P(I) = 1 − P(|F_n − 0,95| ≥ 0,02) ≥ 1 − 118,75/n.
  4. 1 − 118,75/n ≥ 0,96 ⟺ 118,75/n ≤ 0,04 ⟺ n ≥ 2968,75, donc n ≥ 2969.

Réponsen = 2969 convient (tout n ≥ 2969)

Exercice 3 : Quantité de médicament dans l'organisme5 points

u_n : quantité (mL) après n prises ; u_1 = 2 et u_{n+1} = 2 + 0,8u_n.

A1Calculer u_2.Touche pour voir la correction

À retenir On applique la relation.

Démarche
  1. u_2 = 2 + 0,8 × 2 = 3,6.

Réponseu_2 = 3,6 mL

A2Récurrence : u_n = 10 − 8 × 0,8^{n−1}.Touche pour voir la correction

À retenir Initialisation n = 1 puis hérédité.

Démarche
  1. Propriété P(n) : u_n = 10 − 8 × 0,8^{n−1}.
  2. Initialisation (n = 1) : 10 − 8 × 0,8^0 = 2 = u_1.
  3. Hérédité : supposons P(n). u_{n+1} = 2 + 0,8u_n = 2 + 0,8(10 − 8 × 0,8^{n−1}) = 2 + 8 − 8 × 0,8^n = 10 − 8 × 0,8^n, soit P(n+1).
  4. Conclusion : P(n) est vraie pour tout n ≥ 1.

Réponseu_n = 10 − 8 × 0,8^{n−1} pour n ≥ 1

A3Limite de (u_n) et interprétation.Touche pour voir la correction

À retenir 0 < 0,8 < 1.

Démarche
  1. 0,8^{n−1} → 0 donc u_n → 10.

Réponselim u_n = 10 : la quantité tend vers 10 mL (palier)

A4u_N ≥ 10 admet-elle des solutions ?Touche pour voir la correction

À retenir 8 × 0,8^{N−1} > 0.

Démarche
  1. u_N = 10 − 8 × 0,8^{N−1} < 10 pour tout N.

RéponseNon : la quantité reste toujours strictement inférieure à 10 mL

A5À partir de combien de prises u_n > 9 ?Touche pour voir la correction

À retenir 10 − 8 × 0,8^{n−1} > 9 ⟺ 0,8^{n−1} < 1/8.

Démarche
  1. (n − 1)ln 0,8 < ln(1/8) donc n − 1 > ln 8 ÷ ln(1/0,8) ≈ 9,32 (le sens change : ln 0,8 < 0).
  2. n − 1 ≥ 10 donc n ≥ 11.

Réponseà partir de la 11e prise

Vérification u_10 ≈ 8,93 < 9 et u_11 ≈ 9,14 > 9.

B1Calculer S_2.Touche pour voir la correction

À retenir S_n est la moyenne de u_1, …, u_n.

Démarche
  1. S_2 = (2 + 3,6) ÷ 2 = 2,8.

RéponseS_2 = 2,8

B2Montrer que u_1 + … + u_n = 10n − 40 + 40 × 0,8^n.Touche pour voir la correction

À retenir Somme d'une suite géométrique.

Démarche
  1. Somme = 10n − 8 × (1 + 0,8 + … + 0,8^{n−1}) = 10n − 8 × (1 − 0,8^n) ÷ 0,2.
  2. = 10n − 40(1 − 0,8^n) = 10n − 40 + 40 × 0,8^n.

Réponse10n − 40 + 40 × 0,8^n

B3Limite de S_n.Touche pour voir la correction

À retenir S_n = 10 − 40/n + 40 × 0,8^n/n.

Démarche
  1. 40/n → 0 et 40 × 0,8^n/n → 0.

Réponselim S_n = 10

B4Que renvoie mystere(9) ?Touche pour voir la correction

À retenir s = S_n ; la boucle s'arrête quand s ≥ k.

Démarche
  1. La fonction part de n = 1 et s = 2 = S_1, puis augmente n et recalcule s = 10 − 40/n + 40×0,8^n/n = S_n tant que s < k.
  2. Elle renvoie donc le plus petit entier n tel que S_n ≥ k, c'est-à-dire ≥ 9 pour k = 9.
  3. Calcul : S_39 ≈ 8,975 < 9 et S_40 ≈ 9,0001 ≥ 9 : mystere(9) renvoie 40.

Réponsemystere(9) renvoie le nombre minimal de prises à partir duquel la quantité moyenne de médicament présente dans l'organisme atteint au moins 9 mL : 40 prises

B5Justifier que cette valeur est supérieure à 10.Touche pour voir la correction

À retenir (S_n) est croissante ; on calcule S_10.

Démarche
  1. (S_n) est croissante (admis) : si S_10 < 9, alors S_n < 9 pour tout n ≤ 10.
  2. S_10 = 10 − 40/10 + 40 × 0,8^10 ÷ 10 = 6 + 4 × 0,8^10 ≈ 6,43 < 9.
  3. Donc S_n < 9 pour n ≤ 10 : le premier rang où S_n ≥ 9 est strictement supérieur à 10.

Réponsen > 10 car S_10 ≈ 6,43 < 9 et S_n croissante

Exercice 4 : Étude de f(x) = e^{√x}/(2√x)5 points

f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = e^{√x} ÷ (2√x), C_f sa courbe.

1aMontrer que g'(x) = f(x) pour g(x) = e^{√x}.Touche pour voir la correction

À retenir Dérivée de e^{u} : u'e^{u}.

Démarche
  1. (√x)' = 1/(2√x).
  2. g'(x) = e^{√x}/(2√x) = f(x).

Réponseg' = f

1bCalculer f'(x) et montrer que f'(x) = e^{√x}(√x − 1)/(4x√x).Touche pour voir la correction

À retenir Quotient u/v avec u = e^{√x}, v = 2√x.

Démarche
  1. u' = e^{√x}/(2√x) ; v' = 1/√x.
  2. f' = (u'v − uv') ÷ v² = (e^{√x} − e^{√x}/√x) ÷ (4x) = e^{√x}(√x − 1) ÷ (4x√x).

Réponsef'(x) = e^{√x}(√x − 1)/(4x√x)

2aLimite de f en 0.Touche pour voir la correction

À retenir e^{√x} → 1 et 2√x → 0+.

Démarche
  1. Quand x → 0+, √x → 0+ donc e^{√x} → 1 et 2√x → 0+.
  2. Quotient d'un numérateur de limite 1 par un dénominateur qui tend vers 0+ : f(x) → +∞.

Réponselim f = +∞ en 0

2bInterprétation graphique.Touche pour voir la correction

À retenir Limite infinie en un point.

Démarche
  1. C_f admet une asymptote verticale.

Réponseasymptote verticale : la droite d'équation x = 0

3aLimite de f en +∞.Touche pour voir la correction

À retenir Poser X = √x : f = e^X/(2X).

Démarche
  1. On pose X = √x ; x → +∞ ⟺ X → +∞.
  2. f(x) = e^X ÷ (2X) = (1/2) × e^X/X.
  3. Par croissances comparées e^X/X → +∞, donc f(x) → +∞.

Réponselim f = +∞ en +∞

3bVariations de f et tableau.Touche pour voir la correction

À retenir Le signe de f' est celui de √x − 1.

Démarche
  1. Signe de f' : e^{√x} > 0 et 4x√x > 0, donc f' est du signe de √x − 1.
  2. √x − 1 < 0 sur ]0 ; 1[ et > 0 sur ]1 ; +∞[.
  3. f(1) = e/2 ≈ 1,36 (minimum).
  4. Tableau : x : 0 → 1 → +∞ ; f' : − 0 + ; f : +∞ ↘ e/2 ↗ +∞.

Réponsef décroît de +∞ à e/2 sur ]0 ; 1], croît ensuite de e/2 à +∞

3cMontrer que f(x) = 2 a une unique solution sur [1 ; +∞[ ; valeur approchée à 10^{−1}.Touche pour voir la correction

À retenir TVI et stricte monotonie.

Démarche
  1. Sur [1 ; +∞[, f est continue et strictement croissante de e/2 ≈ 1,36 à +∞.
  2. 2 est dans l'image : une unique solution.
  3. Approximation : f(4,6) ≈ 1,99 et f(4,7) ≈ 2,02 donc x ≈ 4,6.

Réponseunique solution, x ≈ 4,6

4aCalculer I = ∫ de 1 à 2 de f(x)dx.Touche pour voir la correction

À retenir f = g' : I = g(2) − g(1).

Démarche
  1. I = e^{√2} − e^1.

RéponseI = e^{√2} − e ≈ 1,39

4bInterprétation graphique.Touche pour voir la correction

À retenir f est positive.

Démarche
  1. Aire du domaine limité par C_f, l'axe des abscisses et les droites x = 1 et x = 2.

RéponseI est l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par C_f, l'axe des abscisses et les droites x = 1 et x = 2 : environ 1,39 u.a. (f est positive).

5aAvec X = √x, montrer que x − 3√x + 3 > 0.Touche pour voir la correction

À retenir x − 3√x + 3 = X² − 3X + 3.

Démarche
  1. Pour x > 0, X = √x > 0 et x = X² : x − 3√x + 3 = X² − 3X + 3.
  2. Discriminant : Δ = (−3)² − 4 × 1 × 3 = 9 − 12 = −3 < 0.
  3. Le trinôme n'a pas de racine réelle et son coefficient dominant 1 est positif : X² − 3X + 3 > 0 pour tout X, donc x − 3√x + 3 > 0 pour tout x > 0.

RéponseX² − 3X + 3 > 0 pour tout X réel donc pour tout x > 0

5bConvexité de f.Touche pour voir la correction

À retenir Signe de f''.

Démarche
  1. e^{√x} > 0 et 8x²√x > 0.
  2. x − 3√x + 3 > 0 (question a).
  3. Donc f''(x) > 0 sur ]0 ; +∞[ : f est convexe sur ]0 ; +∞[ (C_f est au-dessus de ses tangentes, sans point d'inflexion).

Réponsef est convexe sur ]0 ; +∞[

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