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Bac 2025

Bac 2025 – Mathématiques – Amérique du Sud – Sujet 2 : correction détaillée

Spécialité Maths · 4 h · coefficient 16 · Jour 2 · 4 exercices (probabilités, QCM espace, suites, fonction)

Corrigé

Correction rédigée par l'équipe BAC Révision, non officielle. Les énoncés sont reformulés avec leurs données : refais toujours les calculs et compare avec ton professeur.

Où trouver le sujet ? Cette page présente la correction. Le sujet officiel complet (PDF) et ses figures sont dans l'application BAC Révision.

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Exercice 1 : Tennis : service et balles conformes6 points

Partie A : premier service réussi avec la probabilité 0,7 ; le point est gagné dans 80 % des cas après un premier service réussi, dans 45 % après un échec. Partie B : 85 % des balles sont conformes.

A1Décrire S̄ et traduire la situation par un arbre pondéré.Touche pour voir la correction

À retenir S̄ est l'événement contraire de S.

Démarche
  1. S̄ : « Abel rate son premier service ».
  2. Arbre : S (0,7) puis G (0,8) / Ḡ (0,2) ; S̄ (0,3) puis G (0,45) / Ḡ (0,55).

RéponseS̄ : « Abel échoue à son premier service » ; arbre S 0,7 (G 0,8 ; Ḡ 0,2), S̄ 0,3 (G 0,45 ; Ḡ 0,55)

A2Calculer P(S∩G).Touche pour voir la correction

À retenir Probabilité conditionnelle : P(A∩B) = P(A) × P_A(B) ; formule des probabilités totales.

Démarche
  1. P(S∩G) = 0,7 × 0,8 = 0,56.

RéponseP(S∩G) = 0,56

A3Justifier P(G) = 0,695.Touche pour voir la correction

À retenir Probabilités totales sur {S, S̄}.

Démarche
  1. P(S̄∩G) = 0,3 × 0,45 = 0,135.
  2. P(G) = 0,56 + 0,135 = 0,695.

RéponseP(G) = 0,695

A4Abel a gagné le point : probabilité qu'il ait réussi son premier service.Touche pour voir la correction

À retenir P_G(S) = P(S∩G) ÷ P(G).

Démarche
  1. 0,56 ÷ 0,695 ≈ 0,8058.

RéponseP_G(S) ≈ 0,806

A5S et G sont-ils indépendants ?Touche pour voir la correction

À retenir Indépendants si P(S∩G) = P(S) × P(G).

Démarche
  1. P(S) × P(G) = 0,7 × 0,695 = 0,4865.
  2. P(S∩G) = 0,56 ≠ 0,4865.

RéponseNon : S et G ne sont pas indépendants

Vérification On peut aussi comparer P_S(G) = 0,8 et P(G) = 0,695 : différents.

B1aLoi de X, nombre de balles conformes sur 20 testées.Touche pour voir la correction

À retenir Répétition indépendante d'une épreuve à deux issues.

Démarche
  1. On répète 20 fois la même épreuve de Bernoulli (balle conforme : succès, probabilité 0,85).
  2. Les tests sont assimilés à des tirages avec remise, donc indépendants.
  3. X compte les succès : X suit une loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0,85.

RéponseX suit la loi B(20 ; 0,85)

B1bCalculer P(X ≤ 18).Touche pour voir la correction

À retenir Calculatrice (fonction de répartition) ou 1 − P(X = 19) − P(X = 20).

Démarche
  1. P(X ≤ 18) = 1 − P(X = 19) − P(X = 20), car X ≤ 20.
  2. P(X = 19) = C(20 ; 19) × 0,85^19 × 0,15 = 20 × 0,85^19 × 0,15 ≈ 0,1368 ; P(X = 20) = 0,85^20 ≈ 0,0388.
  3. P(X ≥ 19) ≈ 0,1756, donc P(X ≤ 18) ≈ 1 − 0,1756 ≈ 0,8244 (au millième : 0,824).

RéponseP(X ≤ 18) ≈ 0,824

B1cProbabilité qu'au moins deux balles ne soient pas conformes sur les 20.Touche pour voir la correction

À retenir Au moins deux non conformes = au plus 18 conformes.

Démarche
  1. Notons Y le nombre de balles non conformes : Y = 20 − X.
  2. Y ≥ 2 équivaut à X ≤ 18.
  3. Donc P(Y ≥ 2) = P(X ≤ 18) ≈ 0,824.

Réponse≈ 0,824 (même événement que P(X ≤ 18))

B1dEspérance de X.Touche pour voir la correction

À retenir E(X) = np.

Démarche
  1. E(X) = 20 × 0,85 = 17.

RéponseE(X) = 17

B2aEspérance et variance de M_n = (X_1 + … + X_n) ÷ n (Bernoulli de paramètre 0,85).Touche pour voir la correction

À retenir Linéarité de E ; V(aX) = a²V(X) ; indépendance.

Démarche
  1. E(X_i) = 0,85 et V(X_i) = 0,85 × 0,15 = 0,1275.
  2. E(M_n) = n × 0,85 ÷ n = 0,85.
  3. V(M_n) = n × 0,1275 ÷ n² = 0,1275 ÷ n.

RéponseE(M_n) = 0,85 ; V(M_n) = 0,1275/n

B2bRappeler Bienaymé-Tchebychev et montrer P(0,75 < M_n < 0,95) ≥ 1 − 12,75/n.Touche pour voir la correction

À retenir P(|M − E(M)| ≥ δ) ≤ V(M) ÷ δ².

Démarche
  1. Inégalité : pour δ > 0, P(|M_n − E(M_n)| ≥ δ) ≤ V(M_n) ÷ δ².
  2. Avec δ = 0,1 : P(|M_n − 0,85| ≥ 0,1) ≤ (0,1275 ÷ n) ÷ 0,01 = 12,75 ÷ n.
  3. L'événement 0,75 < M_n < 0,95 est |M_n − 0,85| < 0,1 : le contraire.
  4. P(0,75 < M_n < 0,95) ≥ 1 − 12,75/n.

RéponseP(0,75 < M_n < 0,95) ≥ 1 − 12,75/n

B2cUn entier n tel que cette probabilité soit supérieure à 0,9.Touche pour voir la correction

À retenir On résout 1 − 12,75/n ≥ 0,9.

Démarche
  1. On veut 1 − 12,75/n > 0,9 (la minoration doit dépasser 0,9).
  2. 12,75/n < 0,1, donc n > 127,5.
  3. Le plus petit entier convenable est n = 128 : P(0,75 < M_n < 0,95) ≥ 1 − 12,75/128 ≈ 0,9004 > 0,9.

Réponsen = 128 convient (et tout entier n ≥ 128)

Exercice 2 : QCM de géométrie dans l'espace4 points

Aucune justification n'est demandée, mais on la donne pour contrôler.

1Δ1 : (1 − 3t ; 4 + 2t ; t), Δ2 : (−4 + s ; 2 + 2s ; −1 + s).Touche pour voir la correction

À retenir On compare les directions puis on cherche un point commun.

Démarche
  1. Directions : (−3 ; 2 ; 1) et (1 ; 2 ; 1), non colinéaires : pas parallèles ; produit scalaire −3 + 4 + 1 = 2 ≠ 0 : pas orthogonales.
  2. Intersection : z donne t = −1 + s ; x donne 1 − 3t = −4 + s, d'où t = 1 et s = 2 ; y : 4 + 2 = 6 = 2 + 4. Point commun (−2 ; 6 ; 1).

Réponsec : sécantes

2d : (1 + t ; 3 − t ; 1 + 2t), P : 4x + 2y − z + 3 = 0.Touche pour voir la correction

À retenir Direction de d et normale de P ; puis un point.

Démarche
  1. Direction (1 ; −1 ; 2), normale (4 ; 2 ; −1) : produit scalaire 4 − 2 − 2 = 0 : d est parallèle à P.
  2. Point (1 ; 3 ; 1) : 4 + 6 − 1 + 3 = 12 ≠ 0 : non inclus dans P.

Réponseb : strictement parallèle à P

3A(3 ; 2 ; 1), B(7 ; 3 ; 1), C(−1 ; 4 ; 5), D(−3 ; 3 ; 5).Touche pour voir la correction

À retenir On teste l'alignement, la colinéarité, puis la coplanarité.

Démarche
  1. AB = (4 ; 1 ; 0), AC = (−4 ; 2 ; 4) : non colinéaires, A, B, C non alignés. CD = (−2 ; −1 ; 0) : non colinéaire à AB.
  2. AD = (−6 ; 1 ; 4). Déterminant de AB, AC, AD = 4(8 − 4) − 1(−16 + 24) = 16 − 8 = 8 ≠ 0 : non coplanaires.

Réponsea : A, B, C, D ne sont pas coplanaires

4Q : 3x − 2y + z + 1 = 0 ; Q' : 4x + y − z + 3 = 0.Touche pour voir la correction

À retenir On teste le point R, les normales, puis la droite.

Démarche
  1. R(1 ; 1 ; −2) : dans Q : 3 − 2 − 2 + 1 = 0 ; dans Q' : 4 + 1 + 2 + 3 = 10 ≠ 0.
  2. Normales (3 ; −2 ; 1) et (4 ; 1 ; −1) : produit scalaire 12 − 2 − 1 = 9 ≠ 0 : pas orthogonaux.
  3. Droite (t ; 7t + 4 ; 11t + 7) : dans Q : 3t − 14t − 8 + 11t + 7 + 1 = 0 ; dans Q' : 4t + 7t + 4 − 11t − 7 + 3 = 0.

Réponsec : plans sécants suivant la droite (t ; 7t + 4 ; 11t + 7)

Exercice 3 : Suites (v_n) et (w_n) : logarithme et exponentielle4 points

v_0 = ln 4, v_{n+1} = ln(−1 + 2e^{v_n}), w_n = −1 + e^{v_n}.

1Valeurs exactes de v_1 et w_0.Touche pour voir la correction

À retenir On remplace e^{v_0} = 4.

Démarche
  1. v_1 = ln(−1 + 2 × 4) = ln 7.
  2. w_0 = −1 + e^{ln 4} = −1 + 4 = 3.

Réponsev_1 = ln 7 ; w_0 = 3

2aFormule à saisir en B3.Touche pour voir la correction

À retenir Elle doit utiliser la cellule du terme précédent (B2), commencer par « = » et être recopiable.

Démarche
  1. Formule 1 sans « = » : texte, pas un calcul. Formule 3 utilise A2 (l'indice) : faux.

RéponseFormule 2 : =LN(−1+2*EXP(B2))

2bConjecturer le sens de variation de (v_n).Touche pour voir la correction

À retenir Le tableur montre des valeurs de plus en plus grandes.

Démarche
  1. Les valeurs lues dans la colonne B sont : 1,386 ; 1,946 ; 2,565 ; 3,219 ; 3,891 ; …
  2. Chaque terme est supérieur au précédent : la suite semble strictement croissante (et tendre vers +∞).

Réponse(v_n) semble strictement croissante

2cValider par récurrence.Touche pour voir la correction

À retenir Propriété : v_n < v_{n+1}.

Démarche
  1. Initialisation : v_0 = ln 4 < v_1 = ln 7.
  2. Hérédité : si v_n < v_{n+1}, alors e^{v_n} < e^{v_{n+1}} (exp croissante), donc −1 + 2e^{v_n} < −1 + 2e^{v_{n+1}}, puis par croissance de ln : v_{n+1} < v_{n+2}.
  3. Conclusion : (v_n) est strictement croissante.

Réponse(v_n) est strictement croissante

3aDémontrer que (w_n) est géométrique.Touche pour voir la correction

À retenir On exprime w_{n+1} avec e^{v_{n+1}} = −1 + 2e^{v_n}.

Démarche
  1. w_{n+1} = −1 + e^{v_{n+1}} = −1 + (−1 + 2e^{v_n}) = 2e^{v_n} − 2 = 2w_n.
  2. Raison 2, premier terme w_0 = 3.

Réponsew_n = 3 × 2^n : géométrique de raison 2

3bEn déduire v_n = ln(1 + 3 × 2^n).Touche pour voir la correction

À retenir e^{v_n} = 1 + w_n.

Démarche
  1. e^{v_n} = 1 + w_n = 1 + 3 × 2^n.
  2. v_n = ln(1 + 3 × 2^n).

Réponsev_n = ln(1 + 3 × 2^n)

3cLimite de (v_n).Touche pour voir la correction

À retenir 2^n → +∞ puis ln.

Démarche
  1. Comme 2 > 1, 2^n → +∞, donc 1 + 3 × 2^n → +∞.
  2. Par composition avec ln, qui tend vers +∞ en +∞ : v_n → +∞.

Réponselim v_n = +∞

4Justifier que l'algorithme seuil(S) renvoie un résultat pour tout S.Touche pour voir la correction

À retenir La boucle s'arrête dès que V ≥ S.

Démarche
  1. V prend les valeurs v_0, v_1, … : suite croissante de limite +∞.
  2. Pour tout S, il existe un rang n tel que v_n ≥ S : la condition V < S devient fausse et la boucle se termine.

RéponseComme (v_n) tend vers +∞, V dépasse tout seuil S : la boucle while s'arrête

Exercice 4 : Dénombrement, équation différentielle et fonction6 points

Partie A : équation ax² + 2x + c = 0 avec a et c entiers non nuls entre −30 et 30. Partie B : y' + 10y = (30x² + 22x − 8)e^{−5x+1}. Partie C : f(x) = (6x² + 2x − 2)e^{−5x+1}.

A1Nombre de couples (a ; c).Touche pour voir la correction

À retenir Tirages successifs sans remise parmi 60 entiers.

Démarche
  1. 60 choix pour a puis 59 pour c : 60 × 59 = 3540.

Réponse3540 couples

A2M a lieu si et seulement si ac < 1.Touche pour voir la correction

À retenir Deux solutions distinctes ⟺ discriminant > 0 (a ≠ 0).

Démarche
  1. Δ = 4 − 4ac.
  2. Δ > 0 ⟺ 4 − 4ac > 0 ⟺ ac < 1.

RéponseM ⟺ ac < 1

A3Expliquer pourquoi M̄ a 1740 issues.Touche pour voir la correction

À retenir M̄ : ac ≥ 1, donc ac > 0 (a et c entiers non nuls) : a et c de même signe, distincts.

Démarche
  1. a et c positifs : 30 × 29 = 870 couples.
  2. a et c négatifs : 30 × 29 = 870 couples.
  3. Total : 1740.

Réponse1740 issues

A4Probabilité de M (à 10^{−2}).Touche pour voir la correction

À retenir P(M) = 1 − P(M̄).

Démarche
  1. P(M̄) = 1740 ÷ 3540.
  2. P(M) = 1 − 1740/3540 = 1800/3540 ≈ 0,5085.

RéponseP(M) ≈ 0,51

B1Résoudre y' + 10y = 0.Touche pour voir la correction

À retenir y' = −10y.

Démarche
  1. y(x) = Ce^{−10x}.

Réponsey(x) = Ce^{−10x}, C ∈ ℝ

B2Justifier que f est solution particulière de (E).Touche pour voir la correction

À retenir On dérive f et on calcule f' + 10f.

Démarche
  1. f'(x) = (12x + 2)e^{−5x+1} − 5(6x² + 2x − 2)e^{−5x+1} = (−30x² + 2x + 12)e^{−5x+1}.
  2. 10f(x) = (60x² + 20x − 20)e^{−5x+1}.
  3. f' + 10f = (30x² + 22x − 8)e^{−5x+1}.

Réponsef' + 10f = (30x² + 22x − 8)e^{−5x+1} : f est solution de (E)

B3Toutes les solutions de (E).Touche pour voir la correction

À retenir Solution particulière + solutions de l'équation homogène.

Démarche
  1. y(x) = (6x² + 2x − 2)e^{−5x+1} + Ce^{−10x}.

Réponsey(x) = (6x² + 2x − 2)e^{−5x+1} + Ce^{−10x}, C ∈ ℝ

C1Limite de f en −∞.Touche pour voir la correction

À retenir Le trinôme tend vers +∞ et e^{−5x+1} → +∞.

Démarche
  1. x → −∞ : 6x² + 2x − 2 → +∞ et −5x + 1 → +∞ donc e^{−5x+1} → +∞.
  2. Produit : +∞.

Réponselim f = +∞ en −∞

C2Montrer que C_f coupe l'axe des abscisses en deux points (utiliser la partie A).Touche pour voir la correction

À retenir f(x) = 0 ⟺ 6x² + 2x − 2 = 0 (l'exponentielle ne s'annule pas).

Démarche
  1. Équation de type ax² + 2x + c = 0 avec a = 6 et c = −2.
  2. ac = −12 < 1 : d'après A2, deux solutions réelles distinctes.

Réponsedeux zéros : x = (−1 ± √13)/6 ≈ −0,77 et 0,43

C3Montrer que C_f a deux tangentes horizontales (parties A et B).Touche pour voir la correction

À retenir Tangente horizontale ⟺ f'(x) = 0.

Démarche
  1. D'après B2, f'(x) = (−30x² + 2x + 12)e^{−5x+1}.
  2. f'(x) = 0 ⟺ −30x² + 2x + 12 = 0, de type ax² + 2x + c avec a = −30 et c = 12.
  3. ac = −360 < 1 : deux solutions distinctes.

Réponsedeux tangentes horizontales : en x = −3/5 et x = 2/3

Vérification 15x² − x − 6 = 0, Δ = 361 = 19², x = (1 ± 19)/30 donc 2/3 et −3/5.

C4Tableau de variation complet de f.Touche pour voir la correction

À retenir Signe de f' : celui de −30x² + 2x + 12 (coefficient dominant négatif).

Démarche
  1. f' < 0 sur ]−∞ ; −3/5[ et ]2/3 ; +∞[ ; f' > 0 sur ]−3/5 ; 2/3[.
  2. f(−3/5) = (−26/25)e^4 ≈ −56,8 ; f(2/3) = 2e^{−7/3} ≈ 0,194.
  3. Limites : +∞ en −∞ et 0 en +∞.

Réponsef décroît de +∞ à −(26/25)e^4 sur ]−∞ ; −3/5], croît jusqu'à 2e^{−7/3} sur [−3/5 ; 2/3], puis décroît vers 0

C5Nombre de solutions de f(x) = 1.Touche pour voir la correction

À retenir On regarde chaque intervalle de monotonie.

Démarche
  1. Sur ]−∞ ; −3/5] : f décroît de +∞ à −56,8 : elle prend la valeur 1 une fois (TVI et stricte monotonie).
  2. Sur [−3/5 ; 2/3] : f ≤ 0,194 < 1. Sur [2/3 ; +∞[ : f ≤ 0,194 < 1.

Réponseune seule solution

C6aVérifier que F(x) = (−(6/5)x² − (22/25)x + 28/125)e^{−5x+1} est une primitive de f.Touche pour voir la correction

À retenir On dérive F.

Démarche
  1. F'(x) = (−(12/5)x − 22/25)e^{−5x+1} − 5(−(6/5)x² − (22/25)x + 28/125)e^{−5x+1}.
  2. = (6x² + (22/5)x − (12/5)x − 22/25 − 28/25)e^{−5x+1} = (6x² + 2x − 2)e^{−5x+1}.

RéponseF' = f : F est une primitive de f

C6bExiste-t-il m > 0,2 tel que I_m = 0 ? Interpréter.Touche pour voir la correction

À retenir I_m = F(m) − F(0,2).

Démarche
  1. F(0,2) = (−0,048 − 0,176 + 0,224)e^0 = 0.
  2. I_m = F(m) = 0 ⟺ −(6/5)m² − (22/25)m + 28/125 = 0 ⟺ 75m² + 55m − 14 = 0, de racines 0,2 et −14/15.
  3. Aucune racine strictement supérieure à 0,2 : le trinôme est strictement négatif pour m > 0,2.

RéponseNon : I_m < 0 pour tout m > 0,2. Graphiquement, l'aire algébrique entre x = 0,2 et x = m (aire sous l'axe entre 0,2 et 0,43, puis aire au-dessus) ne s'annule jamais : la partie positive ne compense pas la partie négative.

Vérification I_m tend vers F(+∞) = 0 par valeurs négatives : elle s'approche de 0 sans l'atteindre.

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