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Bac 2025

Bac 2025 – Mathématiques – Asie – Sujet 2 : correction détaillée

Spécialité Maths · 4 h · coefficient 16 · Jour 2 · 4 exercices (probabilités, suites, espace, fonction)

Corrigé

Correction rédigée par l'équipe BAC Révision, non officielle. Les énoncés sont reformulés avec leurs données : refais toujours les calculs et compare avec ton professeur.

Où trouver le sujet ? Cette page présente la correction. Le sujet officiel complet (PDF) et ses figures sont dans l'application BAC Révision.

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Exercice 1 : Dépistage du chikungunya (probabilités)5 points

Test positif avec la probabilité 0,999 pour un malade et 0,005 pour une personne non atteinte. Le test est fiable si P_T(M) > 0,95. Arrondis à 10^{−3}.

Documents du sujet Cet exercice s'appuie sur des figures ou documents du sujet : Arbre pondéré à compléter (question A3). Ils sont affichés avec la correction dans l'application.

A1Donner P_M(T) et P_M̄(T).Touche pour voir la correction

À retenir On lit l'énoncé.

Démarche
  1. « Un individu atteint par le virus a un test positif avec la probabilité 0,999 » : P_M(T) = 0,999.
  2. « Un individu non atteint a un test positif avec la probabilité 0,005 » : P_M̄(T) = 0,005.
  3. Les événements contraires donnent P_M(T̄) = 0,001 et P_M̄(T̄) = 0,995.

RéponseP_M(T) = 0,999 ; P_M̄(T) = 0,005

A2Valeur exacte de P(M).Touche pour voir la correction

À retenir 270 000 infectés sur 750 000.

Démarche
  1. P(M) = 270 000 ÷ 750 000 = 27/75 = 9/25.

RéponseP(M) = 9/25 = 0,36

A3Compléter l'arbre.Touche pour voir la correction

À retenir Branches : M (0,36) → T 0,999, T̄ 0,001 ; M̄ (0,64) → T 0,005, T̄ 0,995.

Démarche
  1. P(M) = 9/25 = 0,36 et P(M̄) = 1 − 0,36 = 0,64.
  2. Branches issues de M : T 0,999 et T̄ 0,001 (somme 1).
  3. Branches issues de M̄ : T 0,005 et T̄ 0,995.

RéponseM 0,36 (T 0,999 ; T̄ 0,001) ; M̄ 0,64 (T 0,005 ; T̄ 0,995)

A4Probabilité d'être atteint et d'avoir un test positif.Touche pour voir la correction

À retenir Probabilité conditionnelle : P(A∩B) = P(A) × P_A(B) ; formule des probabilités totales.

Démarche
  1. P(M ∩ T) = P(M) × P_M(T) = 0,36 × 0,999 = 0,35964.

RéponseP(M ∩ T) = 0,35964 ≈ 0,360

A5Probabilité d'avoir un test positif.Touche pour voir la correction

À retenir Probabilités totales.

Démarche
  1. P(M̄∩T) = 0,64 × 0,005 = 0,0032.
  2. P(T) = 0,35964 + 0,0032 = 0,36284.

RéponseP(T) = 0,36284 ≈ 0,363

A6Probabilité d'être atteint sachant un test positif.Touche pour voir la correction

À retenir P_T(M) = P(M∩T) ÷ P(T).

Démarche
  1. P_T(M) = P(M ∩ T) ÷ P(T) = 0,35964 ÷ 0,36284.
  2. ≈ 0,9912, soit 0,991 à 10^{−3} près.

RéponseP_T(M) ≈ 0,991

A7Le test est-il fiable ?Touche pour voir la correction

À retenir Critère : P_T(M) > 0,95.

Démarche
  1. Le test est considéré comme fiable si P_T(M) > 0,95.
  2. P_T(M) ≈ 0,991 > 0,95 : sur cette population (36 % de malades), le test est fiable.

RéponseOui : un individu positif est atteint avec une probabilité d'environ 99,1 % (> 0,95)

B1Adapter l'arbre avec la proportion p.Touche pour voir la correction

À retenir P(M) = p, P(M̄) = 1 − p.

Démarche
  1. M (p) → T 0,999 ; T̄ 0,001.
  2. M̄ (1 − p) → T 0,005 ; T̄ 0,995.

Réponsearbre avec p et 1 − p

B2Exprimer P(T) en fonction de p.Touche pour voir la correction

À retenir Probabilités totales.

Démarche
  1. P(T) = P(M∩T) + P(M̄∩T) (probabilités totales).
  2. P(M∩T) = p × 0,999 et P(M̄∩T) = (1 − p) × 0,005.
  3. P(T) = 0,999p + 0,005 − 0,005p = 0,994p + 0,005.

RéponseP(T) = 0,994p + 0,005

B3Montrer P_T(M) = 999p/(994p + 5).Touche pour voir la correction

À retenir P_T(M) = 0,999p ÷ (0,994p + 0,005), multiplié par 1000.

Démarche
  1. P(M ∩ T) = p × 0,999 = 0,999p.
  2. P_T(M) = P(M ∩ T) ÷ P(T) = 0,999p ÷ (0,994p + 0,005).
  3. On multiplie numérateur et dénominateur par 1000 : P_T(M) = 999p ÷ (994p + 5).

RéponseP_T(M) = 999p/(994p + 5)

B4Pour quelles valeurs de p le test est-il fiable ?Touche pour voir la correction

À retenir P_T(M) > 0,95 (le dénominateur est positif).

Démarche
  1. Fiable ⟺ 999p/(994p + 5) > 0,95. Comme 994p + 5 > 0, on peut multiplier : 999p > 0,95(994p + 5) = 944,3p + 4,75.
  2. 54,7p > 4,75, donc p > 4,75 ÷ 54,7 ≈ 0,0868.
  3. Le test est fiable dès que la proportion de personnes atteintes dépasse environ 8,7 % (p ∈ ]0,0868 ; 1]).

Réponsep > 4,75/54,7 ≈ 8,7 % : le test est fiable dès qu'au moins environ 8,7 % de la population est atteinte

CPlus petit n pour que P(au moins un malade) > 0,99 avec X ~ B(n ; 0,36).Touche pour voir la correction

À retenir Contraire : aucun malade.

Démarche
  1. P(au moins un infecté) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,64^n.
  2. 1 − 0,64^n > 0,99 ⟺ 0,64^n < 0,01.
  3. Par croissance de ln : n ln 0,64 < ln 0,01. ln 0,64 < 0, donc n > ln 0,01 ÷ ln 0,64 ≈ 10,3.
  4. Le plus petit entier est n = 11 (0,64^10 ≈ 0,0115 > 0,01 et 0,64^11 ≈ 0,0074 < 0,01).

Réponsen = 11

Exercice 2 : Suites (u_n), (v_n) et (w_n)5 points

u_0 = 30, u_{n+1} = (1/2)u_n + 10 ; v_n = u_n − 20 ; w_0 = 45, w_{n+1} = (1/2)w_n + (1/2)u_n + 7.

A1Valeurs exactes de u_1 et u_2.Touche pour voir la correction

À retenir On applique la relation.

Démarche
  1. u_1 = 15 + 10 = 25.
  2. u_2 = 12,5 + 10 = 22,5 = 45/2.

Réponseu_1 = 25 ; u_2 = 45/2

A2Montrer que (v_n) est géométrique de raison 1/2.Touche pour voir la correction

À retenir v_{n+1} en fonction de v_n.

Démarche
  1. v_{n+1} = u_{n+1} − 20 = (1/2)u_n + 10 − 20 = (1/2)u_n − 10 = (1/2)(u_n − 20) = (1/2)v_n.

Réponsegéométrique de raison 1/2, v_0 = 10

A3Exprimer v_n.Touche pour voir la correction

À retenir v_n = v_0 × q^n.

Démarche
  1. v_n = 10(1/2)^n.

Réponsev_n = 10(1/2)^n

A4En déduire u_n = 20 + 10(1/2)^n.Touche pour voir la correction

À retenir u_n = v_n + 20.

Démarche
  1. u_n = v_n + 20 = 20 + 10(1/2)^n.

Réponseu_n = 20 + 10(1/2)^n

A5Limite de (u_n).Touche pour voir la correction

À retenir −1 < 1/2 < 1.

Démarche
  1. (1/2)^n → 0 donc 10(1/2)^n → 0.

Réponselim u_n = 20

B1Montrer w_1 = 44,5.Touche pour voir la correction

À retenir w_1 = (1/2)w_0 + (1/2)u_0 + 7.

Démarche
  1. w_1 = 22,5 + 15 + 7 = 44,5.

Réponsew_1 = 44,5

B2Pourquoi suite(1) ne renvoie-t-elle pas w_1 ? Corriger.Touche pour voir la correction

À retenir Dans la boucle, U est mis à jour avant W : W utilise u_{n+1} au lieu de u_n.

Démarche
  1. Avec U = 30, la boucle calcule d'abord U = 25 puis W = 22,5 + 12,5 + 7 = 42 au lieu de 44,5.
  2. Il faut calculer W avant de mettre U à jour (ou utiliser une variable temporaire).

RéponseIntervertir les deux lignes : W = W/2 + U/2 + 7 puis U = U/2 + 10

B3aRécurrence : w_n = 10n(1/2)^n + 11(1/2)^n + 34.Touche pour voir la correction

À retenir Initialisation, hérédité avec u_n = 20 + 10(1/2)^n.

Démarche
  1. Initialisation : n = 0 : 10 × 0 × 1 + 11 × 1 + 34 = 45 = w_0.
  2. Hérédité : on suppose w_n = 10n(1/2)^n + 11(1/2)^n + 34 et on utilise u_n = 20 + 10(1/2)^n.
  3. w_{n+1} = (1/2)w_n + (1/2)u_n + 7 = 5n(1/2)^n + (11/2)(1/2)^n + 17 + 10 + 5(1/2)^n + 7.
  4. = 5n(1/2)^n + (21/2)(1/2)^n + 34 = 5(n + 1)(1/2)^n + (11/2)(1/2)^n + 34 = 10(n + 1)(1/2)^{n+1} + 11(1/2)^{n+1} + 34, soit la propriété au rang n + 1.

Réponsew_n = 10n(1/2)^n + 11(1/2)^n + 34

Vérification Contrôle : w_1 = 5 + 5,5 + 34 = 44,5, valeur trouvée en B.1.

B3bQue déduire de 0 ≤ 10n(1/2)^n ≤ 10/n pour n ≥ 4 ?Touche pour voir la correction

À retenir Théorème des gendarmes.

Démarche
  1. 0 ≤ 10n(1/2)^n ≤ 10/n pour n ≥ 4 et 10/n → 0 : par le théorème des gendarmes, 10n(1/2)^n → 0.
  2. (1/2)^n → 0, donc 11(1/2)^n → 0.
  3. w_n = 10n(1/2)^n + 11(1/2)^n + 34 → 34.

Réponse(w_n) converge vers 34

Exercice 3 : Plans, droite et points (vrai/faux)5 points

C(3 ; 0 ; 0), D(0 ; 2 ; 0), H(−6 ; 2 ; 2), J(−54/13 ; 62/13 ; 0) ; P : 2x + 3y + 6z − 6 = 0 ; P' : x − 2y + 3z − 3 = 0 ; (d) : (−8 + t/3 ; −1 + t/2 ; −4 + t), directeur (1/3 ; 1/2 ; 1) ∝ (2 ; 3 ; 6).

1Affirmation 1 : (d) est orthogonale à P et coupe P en H.Touche pour voir la correction

À retenir Directeur colinéaire au normal ; H ∈ (d) ∩ P.

Démarche
  1. Directeur (2 ; 3 ; 6)/6 colinéaire à la normale (2 ; 3 ; 6) de P.
  2. H ∈ (d) : t = 6 donne (−6 ; 2 ; 2).
  3. H ∈ P : −12 + 6 + 12 − 6 = 0.

RéponseVRAI

2Affirmation 2 : mesure de l'angle DCH arrondie à 10^{−1} : 17,3°.Touche pour voir la correction

À retenir cos(DCH) = (CD·CH) ÷ (CD × CH).

Démarche
  1. cos(DCH) = (CD · CH) ÷ (CD × CH).
  2. CD = (0 − 3 ; 2 − 0 ; 0) = (−3 ; 2 ; 0) ; CH = (−6 − 3 ; 2 ; 2) = (−9 ; 2 ; 2).
  3. CD · CH = 27 + 4 + 0 = 31 ; CD = √13 ; CH = √(81 + 4 + 4) = √89.
  4. cos(DCH) = 31/√1157 ≈ 0,9114 donc DCH ≈ 24,3°, et non 17,3°.

RéponseFAUX : DCH ≈ 24,3°

3Affirmation 3 : P et P' sécants suivant Δ : (3 − 3t ; 0 ; t).Touche pour voir la correction

À retenir Normales non colinéaires ; points et directeur de Δ.

Démarche
  1. Normales (2 ; 3 ; 6) et (1 ; −2 ; 3) non colinéaires : plans sécants.
  2. Point de Δ dans P : 6 − 6t + 6t − 6 = 0 ; dans P' : 3 − 3t + 3t − 3 = 0.
  3. Directeur (−3 ; 0 ; 1) orthogonal aux deux normales : −6 + 6 = 0 ; −3 + 3 = 0.

RéponseVRAI

4Affirmation 4 : J est le projeté orthogonal de H sur (CD).Touche pour voir la correction

À retenir J ∈ (CD) et HJ ⟂ CD.

Démarche
  1. Droite (CD) : (3 − 3s ; 2s ; 0). s = 31/13 donne (−54/13 ; 62/13 ; 0) = J.
  2. HJ = (24/13 ; 36/13 ; −2) ; HJ·CD = −72/13 + 72/13 = 0.

RéponseVRAI

Exercice 4 : Température d'une réaction chimique5 points

f(t) = (at + b)e^{−0,5t} sur [0 ; 10], t en minutes, température en degrés Celsius ; f vérifie y' + 0,5y = 60e^{−0,5t} et f(0) = 40.

Documents du sujet Cet exercice s'appuie sur des figures ou documents du sujet : Courbe de la température f(t) en fonction du temps (minutes). Ils sont affichés avec la correction dans l'application.

A1Par lecture graphique, au bout de combien de temps la température redescend-elle à sa valeur initiale (f(0) = 40, point A) ?Touche pour voir la correction

À retenir Valeur initiale : f(0) = 40 (point A).

Démarche
  1. La valeur initiale est 40 °C (point A, à l'abscisse 0).
  2. La courbe monte jusqu'à environ 61 °C vers t ≈ 1,3, puis redescend et recoupe l'horizontale y = 40 un peu avant t = 4 (f(4) ≈ 37–38).
  3. Lecture : t ≈ 3,8 minutes (précision de lecture d'environ 0,1 à 0,2 min).

Réponseenviron 3,8 minutes (un peu moins de 4 minutes)

A2En déduire b.Touche pour voir la correction

À retenir f(0) = b.

Démarche
  1. f(0) = (a × 0 + b)e^0 = b = 40.

Réponseb = 40

A3Déterminer a.Touche pour voir la correction

À retenir On calcule f' + 0,5f.

Démarche
  1. f'(t) = [a − 0,5(at + b)]e^{−0,5t}.
  2. f' + 0,5f = ae^{−0,5t} = 60e^{−0,5t} donc a = 60.

Réponsea = 60

B1Montrer f'(t) = (40 − 30t)e^{−0,5t}.Touche pour voir la correction

À retenir f(t) = (60t + 40)e^{−0,5t}.

Démarche
  1. f'(t) = 60e^{−0,5t} − 0,5(60t + 40)e^{−0,5t}.
  2. = (60 − 30t − 20)e^{−0,5t} = (40 − 30t)e^{−0,5t}.

Réponsef'(t) = (40 − 30t)e^{−0,5t}

B2aVariations et tableau.Touche pour voir la correction

À retenir e^{−0,5t} > 0 : le signe de f' est celui de 40 − 30t.

Démarche
  1. e^{−0,5t} > 0 : f'(t) est du signe de 40 − 30t.
  2. 40 − 30t > 0 ⟺ t < 4/3 : f croît sur [0 ; 4/3] ; f décroît sur [4/3 ; 10].
  3. f(0) = 40 ; f(4/3) = (80 + 40)e^{−2/3} = 120e^{−2/3} ≈ 61,6 ; f(10) = 640e^{−5} ≈ 4,31.
  4. Tableau : t : 0, 4/3, 10 ; f' : + 0 − ; f : 40 ↗ ≈ 61,6 ↘ ≈ 4,31.

Réponsef croît de 40 à ≈ 61,6 sur [0 ; 4/3], puis décroît jusqu'à ≈ 4,31 en t = 10

B2bMontrer que f(t) = 40 a une unique solution α > 0 sur ]0 ; 10].Touche pour voir la correction

À retenir Sur ]0 ; 4/3], f > 40 ; sur [4/3 ; 10], bijection.

Démarche
  1. Sur [0 ; 4/3] : f est strictement croissante et f(0) = 40, donc f(t) > 40 pour t ∈ ]0 ; 4/3] : aucune solution.
  2. Sur [4/3 ; 10] : f est continue et strictement décroissante, f(4/3) ≈ 61,6 > 40 > f(10) ≈ 4,31.
  3. D'après le théorème de la bijection, f(t) = 40 admet une unique solution α dans ]4/3 ; 10], donc une unique solution strictement positive sur ]0 ; 10].

Réponseα unique dans ]4/3 ; 10]

B2cValeur approchée de α au dixième et interprétation.Touche pour voir la correction

À retenir Résolution numérique.

Démarche
  1. À la calculatrice (tableau de valeurs) : f(3,8) ≈ 40,1 > 40 et f(3,9) ≈ 39,0 < 40.
  2. Donc 3,8 < α < 3,9 et α ≈ 3,8 à 0,1 près.
  3. Interprétation : c'est l'instant où la température redescend à sa valeur initiale, 40 °C (accord avec la lecture graphique).

Réponseα ≈ 3,8 : la température repasse à sa valeur initiale, 40 °C, après environ 3,8 minutes

B3aMontrer que ∫ de 0 à 4 de f(t)dt = 320 − 800/e².Touche pour voir la correction

À retenir Intégration par parties avec u = 60t + 40, v' = e^{−0,5t}.

Démarche
  1. v = −2e^{−0,5t}, u' = 60.
  2. ∫ = [−2(60t + 40)e^{−0,5t}] de 0 à 4 + 120∫e^{−0,5t}dt.
  3. = [−2(60t + 40)e^{−0,5t} − 240e^{−0,5t}] de 0 à 4 = (−560 − 240)e^{−2} + (80 + 240).
  4. = 320 − 800e^{−2}.

Réponse∫ de 0 à 4 de f = 320 − 800/e²

Vérification Primitive : (−120t − 320)e^{−0,5t}, dont la dérivée est (60t + 40)e^{−0,5t}.

B3bTempérature moyenne sur les 4 premières minutes (au degré).Touche pour voir la correction

À retenir Moyenne = (1/(t_2 − t_1))∫ f.

Démarche
  1. (320 − 800e^{−2}) ÷ 4 = 80 − 200e^{−2} ≈ 80 − 27,07 = 52,93.

Réponse≈ 53 °C

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