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Bac 2025

Physique-Chimie – Métropole 2025 – Sujet 1 : correction détaillée

Enseignement de spécialité · 3 h 30 · 17 juin 2025 · 3 exercices · 20 points

Corrigé

Correction rédigée par l'équipe BAC Révision, non officielle. Les énoncés sont reformulés avec leurs données : refais toujours les calculs et compare avec ton professeur.

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Exercice 1 : Un emballage intelligent au rayon poissonnerie9 points

Synthèse et caractérisation du bleu de bromophénol (CCM, spectres, titrage pH-métrique, pK_A), couleur de la pastille indicatrice, préparation d'une solution d'acide chlorhydrique et cinétique de décoloration.

Documents du sujet Cet exercice s'appuie sur des figures ou documents du sujet : Chromatogramme : rouge de phénol (a), perbromure de pyridinium (b), produit brut (c) ; Spectres d'absorption du BBP de référence et du produit brut ; Figure 1 : pH et dpH/dV du titrage de S_a ; Figure 2 : spectre de la forme acide ; figure 3 : cercle chromatique ; Molécules A, B et C ; Figure 4 : [BH⁻](t). Ils sont affichés avec la correction dans l'application.

1.Q1Donner un titre à chaque étape du protocole parmi : analyse du produit brut ; transformation des réactifs ; séparation.Touche pour voir la correction

À retenir Transformation (réaction chimique) → séparation/isolement du produit → analyse (contrôle de pureté, identification).

Démarche
  1. Étape 1 : dissolution du rouge de phénol et ajout du dibrome : transformation des réactifs.
  2. Étape 2 : élimination du solvant, filtration, séchage : séparation (isolement du produit).
  3. Étapes 3 et 4 : CCM et spectres d'absorption : analyse du produit brut.

RéponseÉtape 1 : transformation des réactifs ; étape 2 : séparation ; étapes 3 et 4 : analyse du produit brut.

1.Q2À l'aide du chromatogramme, montrer qu'une transformation chimique a eu lieu et préciser si le produit brut est pur.Touche pour voir la correction

À retenir Sur un chromatogramme, une espèce pure donne une seule tache ; deux taches de même hauteur correspondent à une même espèce.

Démarche
  1. Le dépôt c ne présente pas de tache à la hauteur de a (rouge de phénol) : le réactif a disparu.
  2. Il présente une tache bleue haute, absente de a et b : une nouvelle espèce s'est formée, donc il y a eu transformation.
  3. c présente aussi une tache à la ligne de dépôt, au niveau de b (perbromure de pyridinium non migré) : le produit brut contient un réactif résiduel.

RéponseUne nouvelle espèce (tache bleue) apparaît et le rouge de phénol a disparu : transformation chimique. Le produit brut n'est pas pur (deux taches : le produit et du perbromure de pyridinium).

1.Q3À l'aide des spectres d'absorption, justifier que le produit brut contient du BBP.Touche pour voir la correction

À retenir Un spectre d'absorption est caractéristique d'une espèce : même allure, même longueur d'onde du maximum.

Démarche
  1. Les deux spectres présentent un maximum au même endroit, vers 585–590 nm.
  2. L'allure est la même ; le produit brut absorbe un peu plus (mélange, ou concentration différente).

RéponseLes deux spectres ont leur maximum d'absorbance vers 585–590 nm avec la même allure : le produit brut contient du BBP (en plus d'impuretés, visibles vers 400–480 nm).

1.Q4Citer une autre méthode permettant d'identifier le produit brut.Touche pour voir la correction

À retenir On peut comparer une grandeur caractéristique à une valeur de référence.

Démarche
  1. La température de fusion du BBP est donnée (273 °C) : on mesure celle du produit purifié.
  2. On peut aussi utiliser la spectroscopie IR ou RMN.

RéponseMesurer la température de fusion (banc Kofler) et la comparer à 273 °C, ou réaliser un spectre IR / RMN.

2.Q5Donner l'expression de K_A du couple BH₂/BH⁻ en fonction de [BH₂], [BH⁻], [H₃O⁺] et c°.Touche pour voir la correction

À retenir Pour AH + H₂O ⇌ A⁻ + H₃O⁺ : K_A = ([A⁻]·[H₃O⁺]) / ([AH]·c°) à l'équilibre.

Démarche
  1. Produits au numérateur, acide au dénominateur ; on divise par c° pour une grandeur sans unité.

RéponseK_A = ([BH⁻]_éq·[H₃O⁺]_éq) / ([BH₂]_éq·c°)

2.Q6Établir pH = pK_A + log([BH⁻]/[BH₂]).Touche pour voir la correction

À retenir pK_A = −log K_A ; pH = −log([H₃O⁺]/c°).

Démarche
  1. K_A = [BH⁻][H₃O⁺]/([BH₂]c°) donc [H₃O⁺]/c° = K_A·[BH₂]/[BH⁻].
  2. En passant au −log : pH = −log K_A − log([BH₂]/[BH⁻]) = pK_A + log([BH⁻]/[BH₂]).

RéponsepH = pK_A + log([BH⁻]/[BH₂])

2.Q7Définir l'équivalence d'un titrage.Touche pour voir la correction

À retenir À l'équivalence, les réactifs sont dans les proportions stœchiométriques.

Démarche
  1. Titrant et titré ont été entièrement consommés.

RéponseÉtat où les réactifs titrant et titré ont été introduits dans les proportions stœchiométriques de la réaction support du titrage.

2.Q8Déterminer V_E en explicitant la méthode (figure 1).Touche pour voir la correction

À retenir Méthode de la dérivée : à l'équivalence, dpH/dV passe par un maximum.

Démarche
  1. La courbe dpH/dV présente un pic net.
  2. Abscisse du pic : V_E = 14,8 mL à ± 0,2 mL près (le saut de pH se produit entre 14,5 et 15 mL).

RéponseV_E = 14,8 mL (± 0,2 mL), abscisse du maximum de dpH/dV.

Piège La méthode des tangentes donne le même résultat à ± 0,2 mL près.

2.Q9Montrer que [BH⁻] = [BH₂] à la demi-équivalence.Touche pour voir la correction

À retenir Réaction de titrage : BH₂ + OH⁻ → BH⁻ + H₂O (coefficients 1) ; n(BH⁻) formée = n(OH⁻) versée.

Démarche
  1. À V = V_E/2, n(OH⁻)versée = n₀(BH₂)/2 (car n₀(BH₂) = c_b·V_E).
  2. n(BH⁻) = n(OH⁻)versée = n₀/2 ; n(BH₂) restant = n₀ − n₀/2 = n₀/2.
  3. Même volume de solution : [BH⁻] = [BH₂].

Réponsen(BH⁻) = n(BH₂) = n₀/2 dans le même volume, donc [BH⁻] = [BH₂].

2.Q10En déduire, en explicitant la démarche, la valeur expérimentale du pK_A.Touche pour voir la correction

À retenir Si [BH⁻] = [BH₂], log(1) = 0 donc pH = pK_A.

Démarche
  1. V_E/2 = 14,8 / 2 = 7,4 mL.
  2. Lecture de la courbe de pH à V = 7,4 mL : pH = 3,9 (à ± 0,1 près).
  3. pK_A = pH(V_E/2) = 3,9.

RéponsepK_A = 3,9 (± 0,1).

Piège Lecture graphique : le pH à V = 7,4 mL est compris entre 3,8 et 4,0 ; on retient 3,9.

2.Q11Sachant que pK_A(tabulé) = 4,1 et u(pK_A) = 0,3, indiquer si la valeur est compatible avec la présence de BBP.Touche pour voir la correction

À retenir Compatibilité si |x − x_ref| / u(x) ≤ 2.

Démarche
  1. |3,9 − 4,1| / 0,3 = 0,2 / 0,3 ≈ 0,7.
  2. 0,7 ≤ 2.

RéponseQuotient ≈ 0,7 < 2 : la valeur est compatible avec celle du BBP ; le produit purifié est bien du BBP.

3.Q12Montrer que la solution contenant la forme acide du BBP est de couleur jaune (figure 2 : absorption maximale vers 430 nm ; cercle chromatique).Touche pour voir la correction

À retenir Une solution absorbe certaines radiations et paraît de la couleur complémentaire (opposée sur le cercle chromatique).

Démarche
  1. Le spectre montre une absorption nette entre 400 et 500 nm (maximum vers 430 nm) : couleurs violet-bleu absorbées.
  2. Sur le cercle chromatique, la couleur opposée au violet (400–450 nm) est le jaune.
  3. L'absorption du bleu / violet donne donc une teinte jaune.

RéponseAbsorption dans le violet-bleu (≈ 430 nm) : couleur perçue complémentaire, le jaune.

3.Q13Montrer qu'il est impossible de préparer la solution d'acide chlorhydrique de pH = 2,0 en une seule dilution (t_m = 37 %, d = 1,18, M = 36,5 g·mol⁻¹ ; pipettes jaugées de 1,0 à 50,0 mL, fiole jaugée de 200,0 mL).Touche pour voir la correction

À retenir c_com = t_m·d·ρ_eau / M ; facteur de dilution F = c_com / c_fille ; V_mère = V_fille / F.

Démarche
  1. c_com = 0,37 × 1,18 × 1 000 / 36,5 = 12,0 mol·L⁻¹.
  2. pH = 2,0 : c_fille = 10⁻² mol·L⁻¹.
  3. F = 12,0 / 1,0×10⁻² = 1,2×10³.
  4. Volume à prélever dans 200,0 mL : V_mère = 200,0 / 1 196 = 0,17 mL, inférieur à la plus petite pipette disponible (1,0 mL).

RéponseF ≈ 1,2×10³ impose de prélever 0,17 mL, volume inférieur au minimum de 1,0 mL : une dilution unique est impossible ; il faut deux dilutions successives (par exemple 2,0 mL dans 200,0 mL puis 20,0 mL dans 200,0 mL, soit F = 100 × 10 = 1 000, pH ≈ 1,9).

Vérification Avec F = 1 000 : c = 1,2×10⁻² mol·L⁻¹, pH = 1,92 ≈ 2.

3.Q14Choisir la formule de la N,N-diméthylméthanamine parmi les molécules A, B, C.Touche pour voir la correction

À retenir Méthanamine = 1 carbone portant –NH₂ ; N,N-diméthyl = deux groupes méthyle supplémentaires sur l'azote.

Démarche
  1. Chaîne principale : « méthan- », donc CH₃– sur N.
  2. N,N-diméthyl : deux autres CH₃ sur N.
  3. Au total (CH₃)₃N : azote lié à trois groupes méthyle.

RéponseMolécule B : N(CH₃)₃, azote lié à trois groupes méthyle.

3.Q15Écrire l'équation de la réaction responsable du changement de couleur (BH₂ jaune → BH⁻ bleu) avec R₃N.Touche pour voir la correction

À retenir Réaction acide-base : l'acide d'un couple (BH₂) cède H⁺ à la base de l'autre (R₃N).

Démarche
  1. BH₂ = BH⁻ + H⁺ ; R₃N + H⁺ = R₃NH⁺.
  2. Somme.

RéponseBH₂(aq) + R₃N(aq) → BH⁻(aq) + R₃NH⁺(aq)

4.Q16Justifier le caractère amphotère de l'ion BH⁻.Touche pour voir la correction

À retenir Une espèce amphotère est à la fois l'acide d'un couple et la base d'un autre.

Démarche
  1. BH⁻ est la base du couple BH₂/BH⁻ (réaction 1).
  2. BH⁻ est l'acide du couple BH⁻/B²⁻ (BH⁻ + OH⁻ → B²⁻ + H₂O).

RéponseBH⁻ appartient aux couples BH₂/BH⁻ (il en est la base) et BH⁻/B²⁻ (il en est l'acide) : il est amphotère.

4.Q17Déterminer le temps de demi-réaction (figure 4) et indiquer si ce temps et la réaction conviennent à l'utilisation dans la pastille d'un emballage intelligent, en explicitant l'évolution de la couleur.Touche pour voir la correction

À retenir Temps de demi-réaction : durée pour que la quantité de réactif limitant soit divisée par deux (ici [BH⁻] passe de [BH⁻]₀ à [BH⁻]₀/2).

Démarche
  1. [BH⁻]₀ ≈ 5,6 µmol·L⁻¹ (à t = 0) ; la moitié vaut ≈ 2,8 µmol·L⁻¹.
  2. Lecture : [BH⁻] = 2,8 µmol·L⁻¹ pour t = 770 s (à ± 10 s près) : t½ = 770 s, soit 13 min.
  3. Évolution de la pastille : jaune (poisson frais, forme acide BH₂) → bleu quand la N,N-diméthylméthanamine est produite (forme BH⁻) → incolore (B²⁻) si le milieu devient très basique.
  4. En milieu très basique, la teinte bleue est divisée par deux en ≈ 13 min et pratiquement disparue (> 95 %) après 5 t½ ≈ 1 h.
  5. La dégradation du poisson se déroule sur plusieurs jours : une décoloration en une heure est rapide à cette échelle ; le consommateur ne verrait plus de bleu.

Réponset½ = 13 min (770 s). Ce temps est très court devant la durée de dégradation du poisson (plusieurs jours) : si le milieu devient très basique, la pastille bleue se décolore en environ une heure, ce qui fait disparaître l'information. La transformation peut donc nuire à l'efficacité de l'emballage : le BBP ne convient que tant que le milieu reste modérément basique.

Piège Plusieurs avis argumentés sont acceptés ; l'argument central attendu est la comparaison de t½ (13 min) avec la durée de dégradation du poisson (plusieurs jours).

Exercice 2 : Datation d'une roche6 points

Radioactivité du rubidium 87 : isotopes, désintégration β⁻, demi-vie, loi de décroissance, puis datation d'une roche par la droite d'isochrone Rb–Sr.

Documents du sujet Cet exercice s'appuie sur des figures ou documents du sujet : Extrait du diagramme (N, Z) ; Figure 1 : mesures sur les échantillons de roche et droite de modélisation. Ils sont affichés avec la correction dans l'application.

1.Q1Rappeler la définition de noyaux isotopes.Touche pour voir la correction

À retenir Isotopes : même numéro atomique Z, nombres de neutrons (donc nombres de masse A) différents.

Démarche
  1. Même élément chimique (même nombre de protons).

RéponseNoyaux de même nombre de protons Z mais de nombres de neutrons (et de nucléons A) différents.

1.Q2Écrire l'équation de la désintégration du rubidium 87 indiquée par la flèche (de ⁸⁷Rb vers ⁸⁷Sr).Touche pour voir la correction

À retenir Conservation de A et de Z.

Démarche
  1. La flèche va de ⁸⁷₃₇Rb à ⁸⁷₃₈Sr : Z augmente de 1, A est inchangé.
  2. La particule émise a donc A = 0 et Z = −1 : un électron.

Réponse⁸⁷₃₇Rb → ⁸⁷₃₈Sr + ⁰₋₁e (+ antineutrino)

1.Q3Préciser le type de désintégration.Touche pour voir la correction

À retenir Émission d'un électron : radioactivité β⁻ (un neutron se transforme en proton).

Démarche
  1. Z augmente d'une unité et N diminue d'une unité (flèche vers la droite et vers le bas dans le diagramme).

RéponseDésintégration β⁻.

1.Q4Rappeler la définition du temps de demi-vie t½.Touche pour voir la correction

À retenir Durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs d'un échantillon s'est désintégrée.

Démarche
  1. N(t½) = N₀/2.

RéponseDurée nécessaire pour que le nombre de noyaux radioactifs soit divisé par deux.

1.Q5Déterminer le nombre maximal de demi-vies après lequel il reste suffisamment de ⁸⁷Rb pour être détecté (N_Rb(0) = 5,8×10²⁰ ; N_min = 2,0×10⁹ ; le rapport est compris entre 2³⁸ et 2³⁹).Touche pour voir la correction

À retenir Après n demi-vies : N = N₀/2ⁿ. On cherche le plus grand n tel que N ≥ N_min.

Démarche
  1. N_Rb(0)/N_min = 5,8×10²⁰ / 2,0×10⁹ = 2,9×10¹¹, entre 2³⁸ (2,7×10¹¹) et 2³⁹ (5,5×10¹¹).
  2. Condition N₀/2ⁿ ≥ N_min équivaut à 2ⁿ ≤ 2,9×10¹¹ donc n ≤ 38.
  3. n_max = 38 demi-vies.

Réponse38 demi-vies au maximum.

1.Q6Justifier que le rubidium 87 est adapté pour dater un échantillon de 1 g de roche de Meymac.Touche pour voir la correction

À retenir Comparer la durée accessible à l'âge attendu de la roche (centaines de millions d'années).

Démarche
  1. Durée accessible : 38 × t½ = 38 × 49,2×10⁹ a ≈ 1,9×10¹² a.
  2. Âge attendu : plusieurs centaines de millions d'années (indiqué par le sujet), soit 10⁸ à 10⁹ ans, très inférieur à 1,9×10¹² a.
  3. À cette échelle, il reste de très nombreux noyaux de rubidium : la mesure est possible.

RéponseL'âge maximal datable (≈ 1,9×10¹² ans) est très supérieur à l'âge de la roche (centaines de millions d'années) : le rubidium 87 convient.

2.Q7Vérifier que N_Rb(t) = N_Rb(0)·e^(−λt) est solution de dN/dt = −λ·N.Touche pour voir la correction

À retenir On dérive la fonction et on compare.

Démarche
  1. dN/dt = N_Rb(0) × (−λ)·e^(−λt) = −λ·N_Rb(0)·e^(−λt) = −λ·N_Rb(t).

RéponsedN_Rb/dt = −λ·N_Rb(t) : l'équation est vérifiée.

2.Q8Déterminer l'expression de t_f (date où il reste N_min noyaux).Touche pour voir la correction

À retenir On résout N_Rb(t_f) = N_min.

Démarche
  1. N_min = N_Rb(0)·e^(−λ·t_f).
  2. e^(−λ·t_f) = N_min / N_Rb(0).
  3. t_f = (1/λ)·ln(N_Rb(0)/N_min).

Réponset_f = (1/λ)·ln(N_Rb(0)/N_min)

2.Q9Calculer t_f et comparer à la réponse à Q6.Touche pour voir la correction

À retenir On utilise λ = 1,41×10⁻¹¹ a⁻¹.

Démarche
  1. N_Rb(0)/N_min = 2,9×10¹¹ ; ln(2,9×10¹¹) = 26,4.
  2. t_f = 26,4 / 1,41×10⁻¹¹ = 1,87×10¹² a.

Réponset_f ≈ 1,9×10¹² a, résultat identique à 38 × t½ (Q6) : l'échantillon resterait datable pendant près de 2 mille milliards d'années.

Vérification 38 × 49,2×10⁹ = 1,87×10¹² ✓.

3.Q10Donner la relation entre N_Sr formé(t), N_Rb(0) et N_Rb(t).Touche pour voir la correction

À retenir Un noyau de Rb qui se désintègre donne un noyau de Sr.

Démarche
  1. Nombre de désintégrations = N_Rb(0) − N_Rb(t).

RéponseN_Sr formé(t) = N_Rb(0) − N_Rb(t)

3.Q11En déduire N_Sr formé(t) = N_Rb(t)·(e^(λt) − 1).Touche pour voir la correction

À retenir N_Rb(0) = N_Rb(t)·e^(λt).

Démarche
  1. De N_Rb(t) = N_Rb(0)·e^(−λt) : N_Rb(0) = N_Rb(t)·e^(λt).
  2. N_Sr formé = N_Rb(t)·e^(λt) − N_Rb(t) = N_Rb(t)·(e^(λt) − 1).

RéponseN_Sr formé(t) = N_Rb(t)·(e^(λt) − 1)

3.Q12Déterminer l'âge t_roche de la roche à partir de la droite y = 0,7105 + 0,0042·x (figure 1).Touche pour voir la correction

À retenir L'équation 3 est y = b + (e^(λt) − 1)·x : le coefficient directeur de la droite est e^(λ·t_roche) − 1.

Démarche
  1. Coefficient directeur : e^(λ·t_roche) − 1 = 0,0042.
  2. e^(λ·t) = 1,0042 donc t = ln(1,0042)/λ = 4,19×10⁻³ / 1,41×10⁻¹¹.
  3. t_roche ≈ 2,97×10⁸ a.

Réponset_roche ≈ 3,0×10⁸ ans (≈ 300 millions d'années), en accord avec l'indication « plusieurs centaines de millions d'années ».

Vérification e^(1,41×10⁻¹¹ × 2,97×10⁸) = e^(0,00419) = 1,0042 ✓.

Exercice 3 : Viscosimètre à chute de bille5 points

Chute d'une bille d'acier dans une huile : forces, vitesse limite, viscosité, comparaison à une valeur de référence, équation différentielle et temps caractéristique.

Documents du sujet Cet exercice s'appuie sur des figures ou documents du sujet : Figure 1 : schéma du dispositif de mesure. Ils sont affichés avec la correction dans l'application.

Q1Montrer, par un raisonnement sur les unités, que η_C s'exprime en N·m⁻²·s (f = α·η_C·v, α en m).Touche pour voir la correction

À retenir Analyse dimensionnelle : on isole η = f / (α·v).

Démarche
  1. [η] = N / (m × m·s⁻¹) = N / (m²·s⁻¹) = N·m⁻²·s.

Réponse[η_C] = N·m⁻²·s ✓.

Q2Préciser si la force de frottement augmente ou diminue quand v augmente.Touche pour voir la correction

À retenir f = α·η_C·v : proportionnelle à v.

Démarche
  1. α et η_C sont constants : f est proportionnelle à v.

Réponsef augmente quand v augmente (proportionnalité).

Q3Représenter les forces sur la bille lorsque la vitesse limite est atteinte et justifier.Touche pour voir la correction

À retenir Mouvement rectiligne uniforme : ΣF = 0 (principe d'inertie).

Démarche
  1. Poids P vers le bas ; poussée d'Archimède P_A et frottement f vers le haut.
  2. ΣF = 0 : P = P_A + f, donc la flèche du poids est égale à la somme des deux autres.

RéponseTrois forces : P vers le bas ; P_A et f vers le haut, avec P = P_A + f (somme nulle).

Vérification Schéma à dessiner sur la copie.

Q4Montrer que α·η_C·v_lim = 4π·r³·g·(ρ_b − ρ_h)/3.Touche pour voir la correction

À retenir À v_lim : ΣF = 0, avec m = ρ_b·V_b et V_b = (4/3)π·r³.

Démarche
  1. Selon z (vers le bas) : m·g − ρ_h·V_b·g − α·η_C·v_lim = 0.
  2. ρ_b·V_b·g − ρ_h·V_b·g = α·η_C·v_lim.
  3. V_b·g·(ρ_b − ρ_h) = (4/3)π·r³·g·(ρ_b − ρ_h).

Réponseα·η_C·v_lim = 4π·r³·g·(ρ_b − ρ_h) / 3

Q5Calculer η_C (v_lim = 5,37 mm·s⁻¹ ; r = 0,993 mm ; ρ_b = 1,06×10³ kg·m⁻³ ; ρ_h = 8,31×10² kg·m⁻³ ; α = 1,92×10⁻² m).Touche pour voir la correction

À retenir η_C = 4π·r³·g·(ρ_b − ρ_h) / (3·α·v_lim).

Démarche
  1. r³ = (0,993×10⁻³)³ = 9,79×10⁻¹⁰ m³.
  2. 4π·r³ = 1,23×10⁻⁸ ; × g = 1,207×10⁻⁷ ; × (ρ_b − ρ_h = 229) = 2,76×10⁻⁵.
  3. Dénominateur : 3 × 1,92×10⁻² × 5,37×10⁻³ = 3,09×10⁻⁴.
  4. η_C = 2,76×10⁻⁵ / 3,09×10⁻⁴ = 8,9×10⁻² N·m⁻²·s.

Réponseη_C ≈ 0,089 N·m⁻²·s.

Q6Déterminer si η_C est en accord avec la valeur de référence (0,093 N·m⁻²·s ; u = 0,003).Touche pour voir la correction

À retenir Accord si |η − η_ref| / u ≤ 2.

Démarche
  1. |0,089 − 0,093| / 0,003 = 0,004 / 0,003 ≈ 1,2.
  2. 1,2 ≤ 2.

RéponseQuotient ≈ 1,2 < 2 : accord avec la valeur de référence.

Q7Montrer que a = g·(1 − ρ_h·V_b/m) − (α·η_C/m)·v.Touche pour voir la correction

À retenir Seconde loi : m·a = P + P_A + f ; projection sur Oz vers le bas.

Démarche
  1. m·a = m·g − ρ_h·V_b·g − α·η_C·v.
  2. Division par m : a = g − (ρ_h·V_b/m)·g − (α·η_C/m)·v.

Réponsea = g·(1 − ρ_h·V_b/m) − (α·η_C/m)·v

Q8En déduire dv/dt + (3α·η_C)/(4ρ_b·π·r³)·v = g·(1 − ρ_h/ρ_b).Touche pour voir la correction

À retenir a = dv/dt ; m = ρ_b·V_b = ρ_b·(4/3)π·r³.

Démarche
  1. ρ_h·V_b/m = ρ_h/ρ_b.
  2. α·η_C/m = α·η_C / ((4/3)·ρ_b·π·r³) = 3α·η_C/(4ρ_b·π·r³).
  3. On reporte dans a = dv/dt et on passe le terme en v à gauche.

Réponsedv/dt + [3α·η_C/(4ρ_b·π·r³)]·v = g·(1 − ρ_h/ρ_b) ✓

Q9Calculer τ = 4ρ_b·π·r³/(3α·η_C) avec η_réf et justifier que v ≈ v_lim pendant presque toute la chute dans un tube d'environ 15 cm.Touche pour voir la correction

À retenir On atteint environ v_lim en quelques τ (≈ 5τ) ; on compare à la durée de la chute dans le tube.

Démarche
  1. τ = 4 × 1,06×10³ × π × (0,993×10⁻³)³ / (3 × 1,92×10⁻² × 0,093) = 1,30×10⁻⁵ / 5,36×10⁻³ = 2,4×10⁻³ s.
  2. 5τ ≈ 12 ms : régime limite atteint en ≈ 0,012 s.
  3. Distance parcourue pendant ce temps : ≤ v_lim × 5τ ≈ 5,4×10⁻³ × 1,2×10⁻² ≈ 6,5×10⁻⁵ m ≈ 0,07 mm, négligeable devant 15 cm.
  4. Durée totale de la chute de 15 cm : ≈ 0,15 / 5,4×10⁻³ ≈ 28 s ≫ τ.

Réponseτ ≈ 2,4 ms : la vitesse limite est atteinte en ≈ 12 ms, sur moins de 0,1 mm : sur 15 cm la bille est pratiquement à v_lim durant tout le mouvement.

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