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Bac 2025

Mathématiques (spécialité) – Nouvelle-Calédonie 2025, sujet 1 : correction détaillée

Voie générale · spécialité Mathématiques · 4 h · 20 points · probabilités (urnes), géométrie dans l'espace, suite d'intégrales, vrai-faux

Corrigé

Correction rédigée par l'équipe BAC Révision, non officielle. Les énoncés sont reformulés avec leurs données : refais toujours les calculs et compare avec ton professeur.

Où trouver le sujet ? Cette page présente la correction. Le sujet officiel complet (PDF) et ses figures sont dans l'application BAC Révision.

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Exercice 1 : Probabilités : un sac, deux urnes et des billets5 points

Sac : 1 boule A et 3 boules B. Urne A : 3 billets de 50 € et 2 billets de 10 €. Urne B : 1 billet de 50 € et 3 billets de 10 €. A : boule A ; C : billet de 50 €.

Documents du sujet Cet exercice s'appuie sur des figures ou documents du sujet : Arbre à compléter (boule A ou B, puis billet de 50 € ou de 10 €). Ils sont affichés avec la correction dans l'application.

1Recopier et compléter l'arbre pondéré.Touche pour voir la correction

À retenir Probabilité de chaque branche : proportion de boules (premier niveau) puis de billets dans l'urne désignée.

Démarche
  1. Premier niveau : P(A) = 1/4 et P(Ā) = 3/4.
  2. Après A (urne A, 5 billets) : C avec 3/5, C̄ avec 2/5.
  3. Après Ā (urne B, 4 billets) : C avec 1/4, C̄ avec 3/4.

RéponseP(A) = 0,25 ; P_A(C) = 0,6 ; P_A(C̄) = 0,4 ; P(Ā) = 0,75 ; P_Ā(C) = 0,25 ; P_Ā(C̄) = 0,75.

2Probabilité de l'événement « boule A et billet de 50 € » ?Touche pour voir la correction

À retenir P(A ∩ C) = P(A) × P_A(C).

Démarche
  1. P(A ∩ C) = (1/4) × (3/5) = 3/20.

RéponseP(A ∩ C) = 3/20 = 0,15.

3Démontrer que P(C) = 0,3375.Touche pour voir la correction

À retenir Probabilités totales avec la partition {A, Ā}.

Démarche
  1. P(Ā ∩ C) = (3/4) × (1/4) = 3/16 = 0,1875.
  2. P(C) = 0,15 + 0,1875 = 0,3375.

RéponseP(C) = 0,3375.

4Le joueur a obtenu un billet de 10 euros. L'affirmation « il y a plus de 80 % de chances qu'il ait obtenu une boule B » est-elle vraie ?Touche pour voir la correction

À retenir P_C̄(Ā) = P(Ā ∩ C̄)/P(C̄).

Démarche
  1. P(C̄) = 1 − 0,3375 = 0,6625.
  2. P(Ā ∩ C̄) = (3/4) × (3/4) = 9/16 = 0,5625.
  3. P_C̄(Ā) = 0,5625/0,6625 = 45/53 ≈ 0,849.

RéponseVRAIE : la probabilité vaut environ 0,849 > 0,8.

Piège Les billets de 10 € sont plus nombreux dans l'urne B, tirée avec la probabilité 3/4.

5X₁ est la somme obtenue (50 ou 10 €). Montrer que E(X₁) = 23,5 et V(X₁) = 357,75.Touche pour voir la correction

À retenir E(X) = Σ xᵢpᵢ ; V(X) = E(X²) − E(X)².

Démarche
  1. P(X₁ = 50) = 0,3375 et P(X₁ = 10) = 0,6625.
  2. E(X₁) = 50 × 0,3375 + 10 × 0,6625 = 16,875 + 6,625 = 23,5.
  3. E(X₁²) = 2500 × 0,3375 + 100 × 0,6625 = 843,75 + 66,25 = 910.
  4. V(X₁) = 910 − 23,5² = 910 − 552,25 = 357,75.

RéponseE(X₁) = 23,5 et V(X₁) = 357,75.

6.aY = X₁ + X₂ (deux parties indépendantes, chacune avec remise). Montrer que E(Y) = 47.Touche pour voir la correction

À retenir Linéarité de l'espérance.

Démarche
  1. E(Y) = E(X₁) + E(X₂) = 23,5 + 23,5 = 47 (X₂ a la même loi que X₁).

RéponseE(Y) = 47.

6.bExpliquer pourquoi V(Y) = V(X₁) + V(X₂).Touche pour voir la correction

À retenir La variance d'une somme est la somme des variances si les variables sont indépendantes.

Démarche
  1. La boule et le billet sont remis : les deux parties se déroulent dans les mêmes conditions et indépendamment l'une de l'autre.

RéponseX₁ et X₂ sont indépendantes (tirages avec remise) : V(Y) = V(X₁) + V(X₂) = 715,5.

7Z = X₁ + … + X₁₀₀. Démontrer que P(1950 < Z < 2750) ≥ 0,75.Touche pour voir la correction

À retenir Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : P(|Z − E(Z)| < δ) ≥ 1 − V(Z)/δ².

Démarche
  1. E(Z) = 100 × 23,5 = 2 350 et V(Z) = 100 × 357,75 = 35 775 (indépendance).
  2. 1950 < Z < 2750 ⇔ |Z − 2350| < 400.
  3. P(|Z − 2350| < 400) ≥ 1 − 35775/400² = 1 − 35775/160000 ≈ 0,7764.
  4. 0,7764 ≥ 0,75.

RéponseP(1950 < Z < 2750) ≥ 0,776 ≥ 0,75.

Vérification L'intervalle ]1950 ; 2750[ est centré sur 2350 = E(Z), de demi-largeur 400.

Exercice 2 : Géométrie dans l'espace : pyramide, projeté orthogonal et volume4 points

A(4 ; −4 ; 4), B(5 ; −3 ; 2), C(6 ; −2 ; 3), D(5 ; 1 ; 1) dans un repère orthonormé.

1Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.Touche pour voir la correction

À retenir Rectangle en B ⇔ BA · BC = 0.

Démarche
  1. BA = (−1 ; −1 ; 2) et BC = (1 ; 1 ; 1).
  2. BA · BC = −1 − 1 + 2 = 0.

RéponseBA ⟂ BC : ABC est rectangle en B.

2Justifier que (ABC) : x − y − 8 = 0.Touche pour voir la correction

À retenir Les trois points vérifient l'équation, et ils ne sont pas alignés.

Démarche
  1. A : 4 + 4 − 8 = 0 ; B : 5 + 3 − 8 = 0 ; C : 6 + 2 − 8 = 0.
  2. A, B, C non alignés (BA et BC non colinéaires) : l'équation est celle du plan (ABC).

Réponse(ABC) : x − y − 8 = 0 (vecteur normal (1 ; −1 ; 0)).

3.aReprésentation paramétrique de la droite d passant par D et orthogonale à (ABC).Touche pour voir la correction

À retenir Vecteur directeur de d : une normale du plan.

Démarche
  1. Normale (1 ; −1 ; 0), D(5 ; 1 ; 1).

Réponsed : x = 5 + t, y = 1 − t, z = 1 (t ∈ ℝ).

3.bCoordonnées du projeté orthogonal H de D sur (ABC).Touche pour voir la correction

À retenir H est l'intersection de d et du plan.

Démarche
  1. (5 + t) − (1 − t) − 8 = 0 ⇔ 2t − 4 = 0 ⇔ t = 2.
  2. H(7 ; −1 ; 1).

RéponseH(7 ; −1 ; 1).

Vérification 7 − (−1) − 8 = 0 ✓.

3.cMontrer que DH = 2√2.Touche pour voir la correction

À retenir DH = norme du vecteur DH.

Démarche
  1. DH = (2 ; −2 ; 0).
  2. DH = √(4 + 4 + 0) = 2√2.

RéponseDH = 2√2.

4.aMontrer que le volume de la pyramide ABCD est 2.Touche pour voir la correction

À retenir V = (1/3) × aire de la base × hauteur ; base ABC, hauteur DH.

Démarche
  1. ABC rectangle en B : aire = (1/2) × BA × BC = (1/2) × √6 × √3 = (1/2)√18 = 3√2/2.
  2. V = (1/3) × (3√2/2) × 2√2 = (1/3) × 6 = 2.

RéponseV = 2.

4.bL'aire du triangle BCD vaut √42/2. En déduire la distance de A au plan (BCD).Touche pour voir la correction

À retenir Le même volume se calcule avec la base BCD et la hauteur issue de A.

Démarche
  1. V = (1/3) × aire(BCD) × d(A ; (BCD)) = 2.
  2. d = 3V/aire(BCD) = 6/(√42/2) = 12/√42 = 12√42/42 = 2√42/7.

Réponsed(A ; (BCD)) = 12/√42 = 2√42/7 ≈ 1,85.

Vérification √42 ≈ 6,48 donc 12/6,48 ≈ 1,85.

Exercice 3 : Étude de fonctions fₙ(x) = xⁿe^(1−x) et suite d'intégrales6 points

Partie A : étude de f₁(x) = xe^(1−x) sur [0 ; 1]. Partie B : uₙ = ∫₀¹ xⁿe^(1−x) dx, avec u₁ = e − 2 (admis).

Documents du sujet Cet exercice s'appuie sur des figures ou documents du sujet : Script Python à compléter : fonction suite(). Ils sont affichés avec la correction dans l'application.

A.1Montrer que f₁′(x) > 0 pour tout x ∈ [0 ; 1[.Touche pour voir la correction

À retenir (uv)′ avec u = x et v = e^(1−x), v′ = −e^(1−x).

Démarche
  1. f₁′(x) = e^(1−x) + x × (−e^(1−x)) = (1 − x)e^(1−x).
  2. Pour x ∈ [0 ; 1[, 1 − x > 0 et e^(1−x) > 0.

Réponsef₁′(x) = (1 − x)e^(1−x) > 0 sur [0 ; 1[.

A.2En déduire le tableau de variations de f₁ sur [0 ; 1].Touche pour voir la correction

À retenir f₁ est strictement croissante ; on calcule les valeurs aux bornes.

Démarche
  1. f₁ est strictement croissante sur [0 ; 1] (A.1) ; f₁′(1) = 0 au bord.
  2. f₁(0) = 0 × e¹ = 0.
  3. f₁(1) = 1 × e⁰ = 1.

RéponseTableau : x de 0 à 1 ; f₁ strictement croissante de 0 à 1.

A.3En déduire que f₁(x) = 0,1 admet une unique solution dans [0 ; 1].Touche pour voir la correction

À retenir Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Démarche
  1. f₁ est continue et strictement croissante sur [0 ; 1], avec f₁(0) = 0 et f₁(1) = 1.
  2. 0,1 appartient à [0 ; 1] : d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, f₁(x) = 0,1 admet une unique solution α dans [0 ; 1].

RéponseIl existe une unique solution α ∈ [0 ; 1] (valeur approchée : α ≈ 0,038).

Vérification f₁(0,038) = 0,038 × e^0,962 ≈ 0,0995 et f₁(0,04) ≈ 0,1045 : 0,038 < α < 0,04.

B.1.aJustifier que, pour x ∈ [0 ; 1] et n ≥ 1, 0 ≤ xⁿ⁺¹ ≤ xⁿ.Touche pour voir la correction

À retenir xⁿ⁺¹ = x × xⁿ avec 0 ≤ x ≤ 1.

Démarche
  1. x ≥ 0 donc xⁿ ≥ 0 et xⁿ⁺¹ ≥ 0.
  2. xⁿ⁺¹ = x × xⁿ ≤ 1 × xⁿ car x ≤ 1 et xⁿ ≥ 0.

Réponse0 ≤ xⁿ⁺¹ ≤ xⁿ.

B.1.bEn déduire que 0 ≤ uₙ₊₁ ≤ uₙ.Touche pour voir la correction

À retenir On multiplie par e^(1−x) > 0 puis on intègre (l'intégrale conserve l'ordre).

Démarche
  1. 0 ≤ xⁿ⁺¹e^(1−x) ≤ xⁿe^(1−x) sur [0 ; 1].
  2. Par croissance de l'intégrale : 0 ≤ uₙ₊₁ ≤ uₙ.

Réponse0 ≤ uₙ₊₁ ≤ uₙ.

B.1.cMontrer que (uₙ) converge.Touche pour voir la correction

À retenir Suite décroissante et minorée.

Démarche
  1. (uₙ) est décroissante (B.1.b) et minorée par 0.

Réponse(uₙ) converge vers une limite ≥ 0.

B.2.aPar une intégration par parties, démontrer que uₙ₊₁ = (n + 1)uₙ − 1.Touche pour voir la correction

À retenir ∫ u′v = [uv] − ∫ uv′ avec u′ = e^(1−x) (u = −e^(1−x)) et v = xⁿ⁺¹ (v′ = (n + 1)xⁿ).

Démarche
  1. uₙ₊₁ = [−xⁿ⁺¹e^(1−x)]₀¹ + (n + 1)∫₀¹ xⁿe^(1−x) dx.
  2. [−xⁿ⁺¹e^(1−x)]₀¹ = −1 × e⁰ − 0 = −1.
  3. Donc uₙ₊₁ = −1 + (n + 1)uₙ.

Réponseuₙ₊₁ = (n + 1)uₙ − 1.

Vérification n = 1 : u₂ = 2(e − 2) − 1 = 2e − 5 ≈ 0,437 ; direct : ∫₀¹ x²e^(1−x) dx ≈ 0,437.

B.2.bCompléter le script suite() pour qu'il renvoie ∫₀¹ x⁸e^(1−x) dx = u₈.Touche pour voir la correction

À retenir On part de u₁ = e − 2 et on applique la relation uₙ₊₁ = (n + 1)uₙ − 1 pour n = 1, …, 7.

Démarche
  1. u = exp(1) - 2 (c'est u₁).
  2. for n in range(1, 8) : u = (n + 1) * u - 1.
  3. return u (la valeur de u₈).

RéponseRédaction possible : from math import exp / def suite() : u = exp(1) - 2 ; for n in range(1, 8) : u = (n + 1) * u - 1 ; return u. La fonction renvoie u₈ ≈ 0,1233.

Piège range(1, 8) donne n = 1, …, 7 : la variable u passe de u₁ à u₈. Avec range(1, 9), on obtiendrait u₉.

B.3.aDémontrer que, pour tout n ≥ 1, uₙ ≤ e/(n + 1).Touche pour voir la correction

À retenir On majore e^(1−x) par e sur [0 ; 1] puis on intègre xⁿ.

Démarche
  1. Pour x ∈ [0 ; 1], 1 − x ≤ 1 donc e^(1−x) ≤ e.
  2. xⁿe^(1−x) ≤ e xⁿ.
  3. uₙ ≤ e ∫₀¹ xⁿ dx = e/(n + 1).

Réponseuₙ ≤ e/(n + 1).

B.3.bEn déduire la limite de (uₙ).Touche pour voir la correction

À retenir Théorème des gendarmes : 0 ≤ uₙ ≤ e/(n + 1) → 0.

Démarche
  1. 0 ≤ uₙ ≤ e/(n + 1) et e/(n + 1) → 0.

Réponselim uₙ = 0.

Exercice 4 : Vrai ou faux : limite, équation différentielle, suite, convexité, anagrammes5 points

Cinq affirmations indépendantes à justifier.

1f(x) = ln x − x² sur ]0 ; +∞[. Affirmation 1 : lim f(x) = −∞ en +∞.Touche pour voir la correction

À retenir Croissances comparées : ln x/x² → 0 en +∞.

Démarche
  1. f(x) = x²(ln x/x² − 1).
  2. ln x/x² → 0, donc ln x/x² − 1 → −1 et x² → +∞.
  3. Par produit, f(x) → −∞.

RéponseVRAIE : lim f(x) = −∞.

2(E) : −2y′ + 3y = sin x + 8cos x ; f(x) = 2cos x − sin x. Affirmation 2 : f est solution de (E).Touche pour voir la correction

À retenir On calcule −2f′ + 3f et on compare au second membre.

Démarche
  1. f′(x) = −2 sin x − cos x.
  2. −2f′(x) = 4 sin x + 2 cos x ; 3f(x) = 6 cos x − 3 sin x.
  3. Somme : sin x + 8 cos x.

RéponseVRAIE : −2f′ + 3f = sin x + 8cos x.

3g(x) = ln(3x + 1) + 8 ; u₀ = 25, uₙ₊₁ = g(uₙ), suite strictement positive. Affirmation 3 : (uₙ) est décroissante.Touche pour voir la correction

À retenir g est croissante : elle conserve les inégalités, donc le sens de variation de la suite est donné par la comparaison u₁ et u₀.

Démarche
  1. g′(x) = 3/(3x + 1) > 0 : g est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
  2. u₁ = g(25) = ln 76 + 8 ≈ 12,33 < 25 = u₀.
  3. Hérédité : si uₙ₊₁ ≤ uₙ, la croissance de g donne g(uₙ₊₁) ≤ g(uₙ), soit uₙ₊₂ ≤ uₙ₊₁.
  4. Par récurrence, uₙ₊₁ ≤ uₙ pour tout n.

RéponseVRAIE : (uₙ) est décroissante.

Vérification La suite converge vers la solution de x = ln(3x + 1) + 8, soit x ≈ 11,58.

4h affine ; k(x) = x⁴ + x² + h(x). Affirmation 4 : k est convexe sur ℝ.Touche pour voir la correction

À retenir Convexe ⇔ dérivée seconde positive ; la dérivée seconde d'une fonction affine est nulle.

Démarche
  1. k″(x) = 12x² + 2 + 0.
  2. 12x² + 2 > 0 pour tout x.

RéponseVRAIE : k″(x) = 12x² + 2 > 0.

5Affirmation 5 : le mot EULER possède 120 anagrammes.Touche pour voir la correction

À retenir Permutations avec répétitions : n!/(k₁! k₂! …).

Démarche
  1. EULER a 5 lettres dont deux E identiques.
  2. Nombre d'anagrammes distinctes : 5!/2! = 120/2 = 60.

RéponseFAUSSE : 60 anagrammes (120 = 5! compterait deux fois les mots obtenus en échangeant les deux E).

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