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Bac 2025

Mathématiques – Polynésie 2025 (remplacement) : correction détaillée

Série générale, spécialité Mathématiques · 4 h · 4 exercices (5 points chacun)

Corrigé

Correction rédigée par l'équipe BAC Révision, non officielle. Les énoncés sont reformulés avec leurs données : refais toujours les calculs et compare avec ton professeur.

Où trouver le sujet ? Cette page présente la correction. Le sujet officiel complet (PDF) et ses figures sont dans l'application BAC Révision.

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Exercice 1 : Exercice 1 : permis de conduire (probabilités)5 points

16 % des jeunes choisissent la conduite accompagnée (événement A) ; parmi eux 74,7 % réussissent dès la première tentative (événement R). Avec la formation classique, le taux de réussite dès la première tentative est de 56,8 %. Résultats arrondis à 10⁻³ près si nécessaire.

A1Dresser un arbre de probabilités modélisant la situation.Touche pour voir la correction

À retenir Les données « parmi eux » sont des probabilités conditionnelles : P_A(R) = 0,747 et P_(non A)(R) = 0,568.

Démarche
  1. Premier niveau : A avec la probabilité 0,16 et non A avec la probabilité 1 − 0,16 = 0,84.
  2. Après A : R avec la probabilité 0,747 et non R avec la probabilité 0,253.
  3. Après non A : R avec la probabilité 0,568 et non R avec la probabilité 0,432.

RéponseArbre : A (0,16) → R (0,747) / non R (0,253) ; non A (0,84) → R (0,568) / non R (0,432).

A2aDémontrer que P(R) = 0,59664.Touche pour voir la correction

À retenir Formule des probabilités totales avec la partition {A, non A}.

Démarche
  1. P(A ∩ R) = 0,16 × 0,747 = 0,11952.
  2. P(non A ∩ R) = 0,84 × 0,568 = 0,47712.
  3. P(R) = 0,11952 + 0,47712 = 0,59664.

RéponseP(R) = 0,59664 (≈ 0,597).

A2bDonner ce résultat en pourcentage et l'interpréter.Touche pour voir la correction

À retenir Une probabilité p correspond au pourcentage 100 p %.

Démarche
  1. 0,597 correspond à 59,7 %.
  2. Interprétation : sur l'ensemble des jeunes ayant passé l'examen, environ 59,7 % ont obtenu leur permis dès la première tentative.

RéponseEnviron 59,7 % des candidats réussissent dès la première tentative, toutes formations confondues.

A3On choisit un jeune ayant eu son permis dès sa première tentative. Quelle est la probabilité qu'il ait suivi la conduite accompagnée ?Touche pour voir la correction

À retenir Formule de Bayes : P_R(A) = P(A ∩ R) / P(R).

Démarche
  1. P(A ∩ R) = 0,11952.
  2. P_R(A) = 0,11952 / 0,597 ≈ 0,2002 (avec la valeur exacte 0,59664 : ≈ 0,2003).

RéponseP_R(A) ≈ 0,200 : environ 20 %.

Piège Ne pas confondre P_R(A) ≈ 0,200 avec P_A(R) = 0,747.

A4Quelle proportion de jeunes en conduite accompagnée faudrait-il pour que le taux de réussite global dépasse 70 % ?Touche pour voir la correction

À retenir On note p la proportion en conduite accompagnée et on résout une inéquation du premier degré.

Démarche
  1. P(R) = 0,747 p + 0,568 (1 − p) = 0,568 + 0,179 p.
  2. 0,568 + 0,179 p > 0,7 équivaut à 0,179 p > 0,132.
  3. p > 0,132 / 0,179 ≈ 0,7374.

RéponseIl faudrait que plus de 73,7 % des jeunes (p > 0,737 environ) suivent la conduite accompagnée.

Vérification Pour p = 1, P(R) = 0,747 > 0,7 : la valeur trouvée est entre 0 et 1, cohérent.

B1Justifier que X suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,747.Touche pour voir la correction

À retenir Loi binomiale : répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ; X compte les succès.

Démarche
  1. Chaque candidat passe une épreuve à deux issues : succès (permis dès la première tentative) avec la probabilité 0,747, échec sinon.
  2. Les 10 épreuves sont indépendantes (énoncé) et de même paramètre.
  3. X compte le nombre de succès parmi 10 épreuves.

RéponseX suit la loi binomiale B(10 ; 0,747).

B2Calculer P(X ≥ 6) et interpréter.Touche pour voir la correction

À retenir On passe par l'événement contraire : P(X ≥ 6) = 1 − P(X ≤ 5), calculé à la calculatrice (BinomFRép).

Démarche
  1. P(X ≤ 5) ≈ 0,0817.
  2. P(X ≥ 6) = 1 − 0,0817 ≈ 0,918.

RéponseP(X ≥ 6) ≈ 0,918 : environ 91,8 % de chances qu'au moins 6 des 10 candidats aient leur permis dès la première tentative.

Vérification Valeur calculée à la machine : 0,91832.

B3Déterminer E(X) et V(X).Touche pour voir la correction

À retenir Pour une loi binomiale B(n ; p) : E = n p et V = n p (1 − p).

Démarche
  1. E(X) = 10 × 0,747 = 7,47.
  2. V(X) = 10 × 0,747 × 0,253 = 1,88991.

RéponseE(X) = 7,47 et V(X) = 1,88991 (≈ 1,89).

B4aZ est le nombre total de candidats (sur 50) ayant leur permis dès la première tentative. Exprimer Z en fonction de X et Y, puis donner E(Z) et V(Z), sachant E(Y) = 22,53 et V(Y) = 9,81 avec Y indépendante de X.Touche pour voir la correction

À retenir E(X + Y) = E(X) + E(Y) toujours ; V(X + Y) = V(X) + V(Y) si X et Y sont indépendantes.

Démarche
  1. Z = X + Y.
  2. E(Z) = 7,47 + 22,53 = 30.
  3. V(Z) = V(X) + V(Y) = 1,88991 + 9,81 = 11,69991 (≈ 11,70).

RéponseZ = X + Y, E(Z) = 30 et V(Z) ≈ 11,70.

B4bAvec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité d'avoir moins de 20 ou plus de 40 réussites à la première tentative est inférieure à 0,12.Touche pour voir la correction

À retenir Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : P(|Z − E(Z)| ≥ δ) ≤ V(Z) / δ².

Démarche
  1. Avec E(Z) = 30 : « moins de 20 ou plus de 40 » signifie |Z − 30| > 10, donc a fortiori |Z − 30| ≥ 10.
  2. P(|Z − 30| ≥ 10) ≤ V(Z) / 10² = 11,69991 / 100 ≈ 0,117.
  3. 0,117 < 0,12, donc la probabilité cherchée est inférieure à 0,12.

RéponseLa probabilité est majorée par 0,117, donc inférieure à 0,12.

Piège Vérifier que 20 et 40 sont symétriques par rapport à l'espérance 30 : δ = 10 de chaque côté.

Exercice 2 : Exercice 2 : évolution d'une population animale5 points

Effectifs recensés : 50 individus en 2000, 64 en 2005, 80 en 2010, 100 en 2015. On modélise par une fonction de x, le nombre d'années écoulées depuis 2000, avec y(0) = 50. Modèle 1 : y' = 0,05 y − 0,5. Modèle 2 : y' = 0,05 y (1 − 0,00125 y), avec f(x) = 800 / (1 + 15 e^(−0,05x)).

Documents du sujet Cet exercice s'appuie sur des figures ou documents du sujet : Résultats du logiciel de calcul formel (f, f′, f″ et résolution de l'inéquation) ; ligne 2 : 600e^(−0,05x) / (1 + 15e^(−0,05x))². Ils sont affichés avec la correction dans l'application.

A1Résoudre l'équation différentielle y' = 0,05 y − 0,5 avec y(0) = 50.Touche pour voir la correction

À retenir Les solutions de y' = a y + b (a non nul) sont y = C e^(a x) − b/a.

Démarche
  1. Solution constante : y = 0,5/0,05 = 10.
  2. Solutions générales : y(x) = C e^(0,05x) + 10.
  3. y(0) = 50 donne C + 10 = 50, donc C = 40.

Réponsey(x) = 40 e^(0,05x) + 10.

Vérification y'(x) = 2 e^(0,05x) et 0,05 y − 0,5 = 2 e^(0,05x) + 0,5 − 0,5 ✓.

A2Comparer les résultats du tableau avec ceux du modèle 1.Touche pour voir la correction

À retenir On calcule y(5), y(10), y(15) (années 2005, 2010, 2015) et on compare aux relevés.

Démarche
  1. y(5) = 40 e^(0,25) + 10 ≈ 61,4 (relevé : 64).
  2. y(10) = 40 e^(0,5) + 10 ≈ 75,9 (relevé : 80).
  3. y(15) = 40 e^(0,75) + 10 ≈ 94,7 (relevé : 100).
  4. L'écart est de plus en plus grand : le modèle sous-estime l'effectif.

RéponseLe modèle 1 donne environ 61, 76 et 95 individus contre 64, 80 et 100 : il sous-estime la population, de plus en plus avec le temps.

B1Démontrer que f(0) = 50 et que, pour tout x, f'(x) = 0,05 f(x) (1 − 0,00125 f(x)).Touche pour voir la correction

À retenir On utilise l'expression de f' fournie par le logiciel et on la compare à 0,05 f (1 − 0,00125 f) en posant D = 1 + 15 e^(−0,05x).

Démarche
  1. f(0) = 800 / (1 + 15) = 800/16 = 50.
  2. Avec D = 1 + 15 e^(−0,05x) : 0,00125 f = 0,00125 × 800 / D = 1/D, donc 1 − 0,00125 f = (D − 1)/D = 15 e^(−0,05x) / D.
  3. 0,05 f (1 − 0,00125 f) = 0,05 × (800/D) × (15 e^(−0,05x)/D) = 600 e^(−0,05x)/D².
  4. C'est exactement l'expression de f′(x) donnée par le logiciel (ligne 2 : 600e^(−0,05x)/(1 + 15e^(−0,05x))²) : f′ = 0,05 f (1 − 0,00125 f).

Réponsef(0) = 50 et f' = 0,05 f (1 − 0,00125 f) : f est solution de (E₂) avec f(0) = 50.

B2Avec le modèle f, estimer l'effectif de la population en 2050 (arrondi à l'unité).Touche pour voir la correction

À retenir 2050 correspond à x = 50.

Démarche
  1. 2050 correspond à x = 50 (50 ans après 2000).
  2. f(50) = 800 / (1 + 15 e^(−2,5)).
  3. e^(−2,5) ≈ 0,0821, donc 15 e^(−2,5) ≈ 1,2313.
  4. f(50) ≈ 800 / 2,2313 ≈ 358,54.

RéponseEnviron 359 individus en 2050 (358,54 arrondi à l'unité).

Vérification 358,54 arrondi à l'unité donne 359.

B3Calculer la limite de f en +∞, en déduire une conséquence pour C et interpréter.Touche pour voir la correction

À retenir e^(−0,05x) tend vers 0 quand x tend vers +∞.

Démarche
  1. 15 e^(−0,05x) tend vers 0, donc le dénominateur tend vers 1.
  2. f(x) tend vers 800.
  3. La courbe C admet une asymptote horizontale d'équation y = 800 en +∞.

RéponseLimite 800 : asymptote horizontale y = 800. À long terme, la population se stabilise autour de 800 individus (capacité d'accueil de la réserve).

Vérification Cohérent avec l'équation logistique : y' = 0 pour y = 800 (1 − 0,00125 × 800 = 0).

B4Justifier que f est croissante sur [0 ; +∞[.Touche pour voir la correction

À retenir Le signe de f' donne les variations.

Démarche
  1. f'(x) = 600 e^(−0,05x) / (1 + 15 e^(−0,05x))².
  2. Numérateur strictement positif (exponentielle), dénominateur strictement positif (carré non nul).

Réponsef'(x) > 0 sur [0 ; +∞[ : f est strictement croissante.

B5Démontrer le résultat de la ligne 4 : 15 e^(−0,05x) − 1 ≥ 0 équivaut à x ≤ 20 ln 15.Touche pour voir la correction

À retenir La fonction ln est strictement croissante ; diviser ou multiplier par un négatif change le sens de l'inégalité.

Démarche
  1. 15 e^(−0,05x) − 1 ≥ 0 équivaut à e^(−0,05x) ≥ 1/15.
  2. On applique ln (croissante) : −0,05 x ≥ ln(1/15) = −ln 15.
  3. On divise par −0,05 < 0 : x ≤ ln 15 / 0,05 = 20 ln 15.

RéponseL'inéquation équivaut à x ≤ 20 ln 15 (≈ 54,16).

Piège Penser au changement de sens de l'inégalité en divisant par −0,05.

B6aÉtudier la convexité de f sur [0 ; +∞[ et déterminer les points d'inflexion de C.Touche pour voir la correction

À retenir f est convexe là où f'' ≥ 0, concave là où f'' ≤ 0 ; un point d'inflexion est un changement de signe de f''.

Démarche
  1. f''(x) = 30 e^(−0,05x) / (1 + 15 e^(−0,05x))³ × (15 e^(−0,05x) − 1) : les deux premiers facteurs sont strictement positifs, donc f'' a le signe de 15 e^(−0,05x) − 1.
  2. D'après la ligne 4 : f'' ≥ 0 si x ≤ 20 ln 15, et f'' ≤ 0 si x ≥ 20 ln 15.
  3. f est convexe sur [0 ; 20 ln 15] et concave sur [20 ln 15 ; +∞[.
  4. En x₀ = 20 ln 15 : e^(−0,05 x₀) = e^(−ln 15) = 1/15, donc f(x₀) = 800 / (1 + 1) = 400.

Réponsef convexe sur [0 ; 20 ln 15], concave ensuite ; un seul point d'inflexion : (20 ln 15 ; 400) ≈ (54,2 ; 400).

Vérification 400 est exactement la moitié de la limite 800.

B6bLa direction affirme que la vitesse de croissance va augmenter pendant un peu plus de cinquante ans puis diminuer. A-t-elle raison ?Touche pour voir la correction

À retenir La vitesse est f' ; ses variations sont données par le signe de f''.

Démarche
  1. f'' > 0 sur [0 ; 20 ln 15[ : f' est croissante (la vitesse augmente).
  2. f'' < 0 ensuite : f' est décroissante (la vitesse diminue).
  3. 20 ln 15 ≈ 54,16 : la vitesse augmente pendant environ 54 ans, soit « un peu plus de cinquante ans ».

RéponseOui, la direction a raison : la vitesse de croissance augmente jusqu'à x ≈ 54,2 ans (vers 2054) puis diminue.

Exercice 3 : Exercice 3 : suite définie par un logarithme et programme Python5 points

u₀ = 5 et uₙ₊₁ = 2 + ln(uₙ² − 3). Parties : programmes Python, convergence, valeur de la limite.

Documents du sujet Cet exercice s'appuie sur des figures ou documents du sujet : Script à compléter : fonction suite(k) ; Fonction mystere(n) et résultat de mystere(10000) ; Tableau de variations de f(x) = 2 + ln(x² − 3) − x sur [2 ; +∞[ (maximum ln 6 − 1 en x = 3). Ils sont affichés avec la correction dans l'application.

A1Recopier et compléter le script ci-dessous pour que suite(k), qui prend en paramètre un entier naturel k, renvoie la liste des k premières valeurs de (uₙ) (log(a) renvoie ln a) : def suite(k): L = [] ; u = 5 ; for i in range(……): L.append(u) ; u = ………… ; return(……).Touche pour voir la correction

À retenir On ajoute la valeur courante, puis on la remplace par l'image par la fonction de récurrence.

Démarche
  1. Boucle : for i in range(k): on répète k fois.
  2. Mise à jour : u = 2 + log(u**2 − 3).
  3. Retour : return L (la liste construite).

RéponseRédaction possible : def suite(k): L = [] ; u = 5 ; for i in range(k): L.append(u) ; u = 2 + log(u**2 - 3) ; return(L). Les trous sont : range(k), 2 + log(u**2 - 3) et L.

Vérification Avec k = 9 la liste commence par 5 puis 5,091... comme dans l'énoncé.

A2Émettre une conjecture sur le sens de variation de (uₙ) et sur sa convergence.Touche pour voir la correction

À retenir Une conjecture se lit sur les valeurs affichées.

Démarche
  1. Les valeurs 5 ; 5,091 ; 5,132 ; 5,150 ; 5,158 ; ... sont de plus en plus grandes : on conjecture que la suite est croissante.
  2. Les écarts diminuent et les valeurs se rapprochent de 5,16 : on conjecture que la suite converge vers une limite proche de 5,16.

RéponseConjectures : (uₙ) est croissante et converge vers une limite proche de 5,16.

A3La fonction mystere(n) construit L = suite(n), met c = 1, puis pour i de 0 à n − 2 met c = 0 si L[i] > L[i + 1], et renvoie c. mystere(10000) a renvoyé 1. Cet affichage contredit-il la conjecture sur le sens de variation de (uₙ) ? Justifier.Touche pour voir la correction

À retenir La fonction renvoie 0 dès qu'il existe i avec L[i] > L[i + 1], sinon 1.

Démarche
  1. mystere(n) met c à 0 si l'on trouve une décroissance entre deux termes consécutifs parmi les n premiers termes.
  2. Renvoyer 1 signifie qu'aucune décroissance n'apparaît : les 10 000 premiers termes sont rangés dans l'ordre croissant.
  3. Ce résultat est en accord avec la conjecture ; il ne la démontre pas (il ne concerne que les 10 000 premiers termes).

RéponseNon, il ne contredit pas la conjecture : il la renforce, sans la prouver.

Piège Un test sur un nombre fini de termes n'est jamais une démonstration.

B1Démontrer que g(x) = 2 + ln(x² − 3) est croissante sur [2 ; +∞[.Touche pour voir la correction

À retenir (ln u)' = u'/u ; une fonction de dérivée positive est croissante.

Démarche
  1. Pour x ≥ 2 : x² − 3 ≥ 1 > 0, donc g est bien définie.
  2. g'(x) = 2x / (x² − 3).
  3. Pour x ≥ 2 : 2x > 0 et x² − 3 > 0 : g'(x) > 0.

Réponseg'(x) = 2x/(x² − 3) > 0 : g est strictement croissante sur [2 ; +∞[.

B2aDémontrer par récurrence que, pour tout n : 4 ≤ uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ 6.Touche pour voir la correction

À retenir Initialisation, hérédité par la croissance de g, conclusion ; on a besoin de g(4) ≥ 4 et g(6) ≤ 6.

Démarche
  1. Initialisation : u₀ = 5 et u₁ = 2 + ln 22 ≈ 5,09 : 4 ≤ 5 ≤ 5,09 ≤ 6.
  2. Hérédité : on suppose 4 ≤ uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ 6.
  3. g est croissante : g(4) ≤ g(uₙ) ≤ g(uₙ₊₁) ≤ g(6).
  4. g(4) = 2 + ln 13 ≈ 4,56 ≥ 4 et g(6) = 2 + ln 33 ≈ 5,50 ≤ 6.
  5. Donc 4 ≤ uₙ₊₁ ≤ uₙ₊₂ ≤ 6 : la propriété est héréditaire.
  6. Conclusion : elle est vraie pour tout entier n.

RéponsePour tout n, 4 ≤ uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ 6.

Vérification Calculs : g(4) = 2 + ln 13 ≈ 4,565 et g(6) = 2 + ln 33 ≈ 5,497.

B2bEn déduire que (uₙ) converge.Touche pour voir la correction

À retenir Théorème de la limite monotone : suite croissante et majorée.

Démarche
  1. uₙ ≤ uₙ₊₁ : la suite est croissante.
  2. uₙ ≤ 6 : elle est majorée.

Réponse(uₙ) est croissante et majorée par 6 : elle converge.

C1aMontrer que l'équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions α < β sur [2 ; +∞[ (f(x) = 2 + ln(x² − 3) − x).Touche pour voir la correction

À retenir Sur chaque intervalle où f est continue et strictement monotone, elle prend chaque valeur de l'intervalle image au plus une fois.

Démarche
  1. Tableau : f(2) = 2 + ln 1 − 2 = 0 ; f est strictement croissante sur [2 ; 3] jusqu'à f(3) = ln 6 − 1 ≈ 0,79 > 0, puis strictement décroissante sur [3 ; +∞[ vers −∞.
  2. Sur [2 ; 3] : f est strictement croissante et f(2) = 0, donc f(x) > 0 pour x > 2 : la seule solution de f(x) = 0 sur cet intervalle est x = 2.
  3. Sur [3 ; +∞[ : f est continue et strictement décroissante, de ln 6 − 1 > 0 à −∞ : 0 est une valeur intermédiaire, atteinte exactement une fois (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), en un réel β > 3.
  4. Au total : exactement deux solutions α = 2 < β.

RéponseL'équation f(x) = 0 a exactement deux solutions : α = 2 et β > 3.

C1bDonner la valeur exacte de α et une valeur approchée à 10⁻³ près de β.Touche pour voir la correction

À retenir Valeur approchée par balayage à la calculatrice (tableau de valeurs).

Démarche
  1. f(2) = 2 + ln(4 − 3) − 2 = ln 1 = 0 donc α = 2.
  2. f(5,16) ≈ +0,0023 > 0 et f(5,17) ≈ −0,0033 < 0, donc β est entre 5,16 et 5,17 ; un balayage plus fin donne β ≈ 5,164.

Réponseα = 2 et β ≈ 5,164.

Vérification f(5,164) ≈ 0,000 à la précision de la machine (β ≈ 5,16414).

C2On note ℓ la limite de (uₙ). Justifier que f(ℓ) = 0 et déterminer ℓ.Touche pour voir la correction

À retenir Si uₙ₊₁ = g(uₙ) avec g continue et uₙ tend vers ℓ, alors ℓ = g(ℓ), donc f(ℓ) = g(ℓ) − ℓ = 0.

Démarche
  1. g est continue sur [2 ; +∞[ (dérivable) et uₙ tend vers ℓ avec uₙ ≥ 4 : ℓ ≥ 4 est dans l'intervalle.
  2. En passant à la limite : ℓ = 2 + ln(ℓ² − 3), c'est-à-dire f(ℓ) = 0.
  3. Les solutions sont α = 2 et β ; or ℓ ≥ u₀ = 5 > 2 car la suite est croissante, donc ℓ ≠ α.

Réponsef(ℓ) = 0 et ℓ = β ≈ 5,164.

Vérification Cohérent avec les valeurs du programme : 5,1639... à u₈.

Exercice 4 : Exercice 4 : cinq affirmations vrai ou faux5 points

Intégrale, dénombrement, droites et plans de l'espace. Chaque réponse doit être justifiée.

1f(x) = x ln x sur ]0 ; +∞[. Affirmation 1 : l'intégrale de f entre 1 et e vaut (e² + 1)/4.Touche pour voir la correction

À retenir Intégration par parties : ∫ u v' = [u v] − ∫ u' v.

Démarche
  1. On pose u = ln x (u' = 1/x) et v' = x (v = x²/2).
  2. ∫ de 1 à e de x ln x dx = [x²/2 × ln x] de 1 à e − ∫ de 1 à e de x/2 dx.
  3. [x²/2 ln x] de 1 à e = e²/2 × 1 − 0 = e²/2.
  4. ∫ de 1 à e de x/2 dx = [x²/4] de 1 à e = (e² − 1)/4.
  5. Résultat : e²/2 − (e² − 1)/4 = (2e² − e² + 1)/4 = (e² + 1)/4.

RéponseAffirmation vraie : l'intégrale vaut (e² + 1)/4.

Vérification Primitive : F(x) = (x²/2) ln x − x²/4 ; F(e) − F(1) = e²/4 + 1/4 ✓.

2Affirmation 2 : pour 1 ≤ k ≤ n, n × C(n − 1, k − 1) = k × C(n, k).Touche pour voir la correction

À retenir C(n, k) = n! / (k! (n − k)!).

Démarche
  1. k × C(n, k) = k × n! / (k! (n − k)!) = n! / ((k − 1)! (n − k)!).
  2. n × C(n − 1, k − 1) = n × (n − 1)! / ((k − 1)! (n − k)!) = n! / ((k − 1)! (n − k)!).
  3. Les deux expressions sont égales.

RéponseAffirmation vraie.

Vérification Test n = 4, k = 2 : 4 × C(3, 1) = 12 et 2 × C(4, 2) = 12 ✓. Interprétation : choisir un comité de k personnes puis son président, ou le président puis les k − 1 autres membres.

3d : x = t + 1, y = 2t + 1, z = −t ; A(−1 ; −3 ; 2). Affirmation 3 : A appartient à d.Touche pour voir la correction

À retenir Un point est sur la droite si une même valeur du paramètre donne les trois coordonnées.

Démarche
  1. x = −1 donne t + 1 = −1, donc t = −2.
  2. y = 2 × (−2) + 1 = −3 ✓.
  3. z = −(−2) = 2 ✓.

RéponseAffirmation vraie : A correspond à t = −2.

4d' : x = 2t' − 1, y = −t' + 2, z = t' + 1. Affirmation 4 : d et d' sont sécantes.Touche pour voir la correction

À retenir On résout le système des trois égalités de coordonnées ; s'il est incompatible et si les directions ne sont pas colinéaires, les droites ne sont pas sécantes.

Démarche
  1. Directions : (1 ; 2 ; −1) et (2 ; −1 ; 1), non colinéaires : pas parallèles.
  2. t + 1 = 2t' − 1 donne t = 2t' − 2.
  3. 2t + 1 = −t' + 2 donne 4t' − 4 + 1 = −t' + 2, soit t' = 1 et t = 0.
  4. Troisième équation : −t = t' + 1 donne 0 = 2 : impossible.

RéponseAffirmation fausse : d et d' ne sont ni parallèles ni sécantes (non coplanaires).

Piège Vérifier la troisième équation : deux équations seules ne suffisent pas à conclure.

5P : 2x + y − 2z + 18 = 0 ; A(−1 ; −3 ; 2) et B(−5 ; −5 ; 6). Affirmation 5 : P est le plan médiateur de [AB].Touche pour voir la correction

À retenir Le plan médiateur passe par le milieu de [AB] et a AB comme vecteur normal.

Démarche
  1. AB(−4 ; −2 ; 4) = −2 × (2 ; 1 ; −2) : le vecteur (2 ; 1 ; −2) est normal à P et colinéaire à AB.
  2. Milieu de [AB] : I(−3 ; −4 ; 4).
  3. 2 × (−3) + (−4) − 2 × 4 + 18 = −6 − 4 − 8 + 18 = 0 : I appartient à P.

RéponseAffirmation vraie : P est orthogonal à (AB) et contient le milieu de [AB].

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