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Bac 2025

Mathématiques – Polynésie 2025 (jour 2) : correction détaillée

Série générale, spécialité Mathématiques · 4 h · 4 exercices (5 points chacun)

Corrigé

Correction rédigée par l'équipe BAC Révision, non officielle. Les énoncés sont reformulés avec leurs données : refais toujours les calculs et compare avec ton professeur.

Où trouver le sujet ? Cette page présente la correction. Le sujet officiel complet (PDF) et ses figures sont dans l'application BAC Révision.

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Exercice 1 : Exercice 1 : transmission d'une donnée binaire5 points

Une donnée binaire (0 ou 1) passe de machine en machine. Chaque machine la transmet fidèlement avec la probabilité 0,9 et de façon contraire avec la probabilité 0,1. La première machine reçoit toujours 1. Vₙ : « la n-ième machine détient 1 ».

Documents du sujet Cet exercice s'appuie sur des figures ou documents du sujet : Arbre à compléter : V₁, puis V₂ ou non V₂, puis V₃ ou non V₃ ; Script de la fonction simulation(n) (lignes numérotées de 1 à 9). Ils sont affichés avec la correction dans l'application.

A1aCompléter l'arbre de probabilité (V₁ → V₂ → V₃).Touche pour voir la correction

À retenir À chaque étape, la machine garde la valeur avec la probabilité 0,9 (transmission fidèle) et la change avec la probabilité 0,1.

Démarche
  1. De V₁ vers V₂ : 0,9 ; vers non V₂ : 0,1.
  2. De V₂ vers V₃ : 0,9 ; vers non V₃ : 0,1.
  3. De non V₂ vers V₃ : 0,1 (transmission contraire) ; vers non V₃ : 0,9.

RéponseBranches : V₁→V₂ (0,9), V₁→non V₂ (0,1) ; V₂→V₃ (0,9), V₂→non V₃ (0,1) ; non V₂→V₃ (0,1), non V₂→non V₃ (0,9).

A1bDémontrer que P(V₃) = 0,82 et interpréter.Touche pour voir la correction

À retenir Probabilités totales : P(V₃) = P(V₂) P_V2(V₃) + P(non V₂) P_(non V2)(V₃).

Démarche
  1. 0,9 × 0,9 = 0,81 (V₁ puis V₂ puis V₃).
  2. 0,1 × 0,1 = 0,01 (V₁ puis non V₂ puis V₃).
  3. P(V₃) = 0,81 + 0,01 = 0,82.

RéponseP(V₃) = 0,82 : la troisième machine détient la valeur 1 avec une probabilité de 82 %.

A1cSachant que la troisième machine détient 1, probabilité que la deuxième ait aussi détenu 1 ?Touche pour voir la correction

À retenir Probabilité conditionnelle : P_V3(V₂) = P(V₂ ∩ V₃) / P(V₃).

Démarche
  1. P(V₂ ∩ V₃) = 0,81.
  2. P_V3(V₂) = 0,81 / 0,82 ≈ 0,988.

RéponseP_V3(V₂) = 81/82 ≈ 0,988.

A2aDémontrer que pₙ₊₁ = 0,8 pₙ + 0,1.Touche pour voir la correction

À retenir Arbre à deux niveaux avec {Vₙ, non Vₙ} comme partition ; P(non Vₙ) = 1 − pₙ.

Démarche
  1. pₙ₊₁ = P(Vₙ) × 0,9 + P(non Vₙ) × 0,1.
  2. pₙ₊₁ = 0,9 pₙ + 0,1 (1 − pₙ) = 0,9 pₙ + 0,1 − 0,1 pₙ.
  3. pₙ₊₁ = 0,8 pₙ + 0,1.

Réponsepₙ₊₁ = 0,8 pₙ + 0,1 pour tout n ≥ 1.

A2bDémontrer par récurrence que pₙ = 0,5 × 0,8ⁿ⁻¹ + 0,5 pour n ≥ 1.Touche pour voir la correction

À retenir Initialisation, hérédité avec la relation de récurrence, conclusion.

Démarche
  1. Initialisation : n = 1, 0,5 × 0,8⁰ + 0,5 = 1 = p₁ ✓.
  2. Hérédité : on suppose pₙ = 0,5 × 0,8ⁿ⁻¹ + 0,5.
  3. pₙ₊₁ = 0,8 pₙ + 0,1 = 0,8 × (0,5 × 0,8ⁿ⁻¹ + 0,5) + 0,1 = 0,5 × 0,8ⁿ + 0,4 + 0,1.
  4. pₙ₊₁ = 0,5 × 0,8ⁿ + 0,5 : la formule est vraie au rang n + 1.
  5. Conclusion : elle est vraie pour tout n ≥ 1.

Réponsepₙ = 0,5 × 0,8ⁿ⁻¹ + 0,5.

Vérification p₃ = 0,5 × 0,64 + 0,5 = 0,82 ✓ (question 1b).

A2cLimite de pₙ et interprétation.Touche pour voir la correction

À retenir Une suite géométrique de raison q avec −1 < q < 1 tend vers 0.

Démarche
  1. 0 < 0,8 < 1 donc 0,8ⁿ⁻¹ tend vers 0.
  2. pₙ tend vers 0,5.

RéponseLa limite est 0,5 : après un grand nombre de machines, la donnée vaut 1 ou 0 avec la même probabilité (une chance sur deux) : l'information initiale est perdue.

B1Script : 1 def simulation(n): / 2 donnee = 1 / 3 liste = [donnee] / 4 for k in range(n): / 5 if rand() < 0.1 : / 6 donnee = 1 - donnee / 7 liste.append(donnee) / 9 return liste. Déterminer le rôle des instructions des lignes 5 et 6.Touche pour voir la correction

À retenir rand() renvoie un nombre aléatoire de [0 ; 1[ : la condition rand() < 0,1 est vraie avec la probabilité 0,1.

Démarche
  1. Ligne 5 : if rand() < 0.1 : teste si la transmission est contraire (probabilité 0,1).
  2. Ligne 6 : donnee = 1 − donnee : la valeur est alors changée (1 devient 0, 0 devient 1).

RéponseLes lignes 5 et 6 simulent une transmission contraire avec la probabilité 0,1 en inversant la donnée ; sinon elle reste inchangée (transmission fidèle).

B2Probabilité que simulation(4) renvoie [1, 1, 1, 1, 1] et que simulation(6) renvoie [1, 0, 1, 0, 0, 1, 1].Touche pour voir la correction

À retenir Les transmissions sont indépendantes : on multiplie les probabilités de chaque étape (0,9 fidèle, 0,1 contraire).

Démarche
  1. [1, 1, 1, 1, 1] (liste de 5 valeurs) : 4 transmissions, toutes fidèles : 0,9⁴ = 0,6561 ≈ 0,656.
  2. [1, 0, 1, 0, 0, 1, 1] : 1→0 (contraire), 0→1 (contraire), 1→0 (contraire), 0→0 (fidèle), 0→1 (contraire), 1→1 (fidèle).
  3. 4 transmissions contraires et 2 fidèles : 0,1⁴ × 0,9² = 0,0001 × 0,81 = 0,000081.

Réponsesimulation(4) renvoie [1, 1, 1, 1, 1] avec la probabilité 0,9⁴ = 0,6561 ≈ 0,656 ; simulation(6) renvoie [1, 0, 1, 0, 0, 1, 1] avec la probabilité 0,1⁴ × 0,9² = 0,000081 (≈ 0,000 à 10⁻³ près).

Exercice 2 : Exercice 2 : étude de f(x) = x ln(x − 2)5 points

f(x) = x ln(x − 2) sur ]2 ; +∞[. La courbe C est donnée : elle coupe l'axe des abscisses en x = 3 et tend vers −∞ le long de la droite x = 2.

Documents du sujet Cet exercice s'appuie sur des figures ou documents du sujet : Courbe C de f : asymptote verticale vers x = 2, passage par (3 ; 0), croissance. Ils sont affichés avec la correction dans l'application.

1Conjecturer le sens de variation de f, ses limites aux bornes et les éventuelles asymptotes.Touche pour voir la correction

À retenir On lit les variations et les comportements aux bords sur le graphique.

Démarche
  1. La courbe monte de la gauche vers la droite : on conjecture que f est croissante sur ]2 ; +∞[.
  2. En 2 (par la droite) la courbe descend sans limite : limite −∞ ; on conjecture que la droite x = 2 est asymptote verticale.
  3. En +∞ la courbe monte sans limite : limite +∞, sans asymptote horizontale.

RéponseConjectures : f croissante ; limite −∞ en 2⁺ (asymptote verticale x = 2) ; limite +∞ en +∞.

2Résoudre f(x) = 0 sur ]2 ; +∞[.Touche pour voir la correction

À retenir Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul ; ln a = 0 équivaut à a = 1.

Démarche
  1. x ln(x − 2) = 0 : or x > 2 donc x ≠ 0.
  2. ln(x − 2) = 0 équivaut à x − 2 = 1, soit x = 3.

RéponseS = {3}.

Vérification Le graphique coupe l'axe des abscisses en 3 ✓.

3Calculer la limite de f en 2⁺ ; confirme-t-elle une conjecture ?Touche pour voir la correction

À retenir Limite d'un produit : un facteur de limite 2 et un facteur de limite −∞.

Démarche
  1. Quand x tend vers 2 par valeurs supérieures, x − 2 tend vers 0⁺ donc ln(x − 2) tend vers −∞.
  2. x tend vers 2 (> 0) : le produit tend vers −∞.

RéponseLa limite est −∞ : elle confirme l'asymptote verticale x = 2 (et la limite −∞ conjecturée).

4Démontrer que f'(x) = ln(x − 2) + x/(x − 2).Touche pour voir la correction

À retenir Dérivée d'un produit (uv)' = u'v + uv' et (ln w)' = w'/w.

Démarche
  1. u = x, u' = 1 ; v = ln(x − 2), v' = 1/(x − 2).
  2. f'(x) = 1 × ln(x − 2) + x × 1/(x − 2).

Réponsef'(x) = ln(x − 2) + x/(x − 2).

5ag = f'. Démontrer que g'(x) = (x − 4)/(x − 2)².Touche pour voir la correction

À retenir Dérivée d'une somme ; (x/(x − 2))' = ((x − 2) − x)/(x − 2)².

Démarche
  1. (ln(x − 2))' = 1/(x − 2).
  2. (x/(x − 2))' = (1 × (x − 2) − x × 1)/(x − 2)² = −2/(x − 2)².
  3. g'(x) = 1/(x − 2) − 2/(x − 2)² = ((x − 2) − 2)/(x − 2)² = (x − 4)/(x − 2)².

Réponseg'(x) = (x − 4)/(x − 2)².

5bTableau des variations de g, avec la valeur exacte de l'extremum.Touche pour voir la correction

À retenir Le dénominateur (x − 2)² est strictement positif : g' a le signe de x − 4.

Démarche
  1. g' < 0 sur ]2 ; 4[, g'(4) = 0, g' > 0 sur ]4 ; +∞[.
  2. g(4) = ln 2 + 4/2 = ln 2 + 2.
  3. Tableau : g décroît de +∞ (en 2⁺) à ln 2 + 2 en x = 4, puis croît vers +∞.

Réponseg est strictement décroissante sur ]2 ; 4] et strictement croissante sur [4 ; +∞[ ; minimum g(4) = 2 + ln 2 ≈ 2,69.

5cEn déduire que g(x) > 0 sur ]2 ; +∞[.Touche pour voir la correction

À retenir Le minimum global minore la fonction.

Démarche
  1. Pour tout x > 2 : g(x) ≥ g(4) = 2 + ln 2.
  2. 2 + ln 2 > 0 (car ln 2 > 0).

Réponseg(x) ≥ 2 + ln 2 > 0 pour tout x > 2.

5dEn déduire le sens de variation de f.Touche pour voir la correction

À retenir f' = g.

Démarche
  1. f'(x) = g(x) > 0 sur ]2 ; +∞[.

Réponsef est strictement croissante sur ]2 ; +∞[ (conjecture confirmée).

6Étudier la convexité de f et préciser un éventuel point d'inflexion.Touche pour voir la correction

À retenir f'' = g' : f est convexe là où g' ≥ 0, concave là où g' ≤ 0 ; un changement de signe donne un point d'inflexion.

Démarche
  1. f''(x) = g'(x) = (x − 4)/(x − 2)², du signe de x − 4.
  2. f'' < 0 sur ]2 ; 4[ : f est concave.
  3. f'' > 0 sur ]4 ; +∞[ : f est convexe.
  4. Point d'inflexion en x = 4 : f(4) = 4 ln 2.

Réponsef concave sur ]2 ; 4], convexe sur [4 ; +∞[ ; point d'inflexion (4 ; 4 ln 2) ≈ (4 ; 2,77).

7Combien de valeurs de x pour lesquelles la tangente à C a un coefficient directeur égal à 3 ?Touche pour voir la correction

À retenir Le coefficient directeur de la tangente en x est f'(x) = g(x) : on compte les solutions de g(x) = 3.

Démarche
  1. Sur ]2 ; 4] : g est continue, strictement décroissante de +∞ à 2 + ln 2 ≈ 2,69 < 3 : elle prend la valeur 3 exactement une fois.
  2. Sur [4 ; +∞[ : g est continue, strictement croissante de 2 + ln 2 < 3 à +∞ : elle prend la valeur 3 exactement une fois.
  3. Les deux solutions sont distinctes (l'une < 4 et l'autre > 4 car g(4) ≠ 3).

RéponseIl existe exactement 2 valeurs de x telles que la tangente ait pour coefficient directeur 3.

Piège Il faut comparer 3 au minimum 2 + ln 2 ≈ 2,69 : il est inférieur à 3, donc deux solutions (une seule si 3 était égal au minimum, aucune si 3 était strictement inférieur au minimum).

Exercice 3 : Exercice 3 : géométrie dans l'espace, plan et tétraèdre5 points

Points A(1 ; 3 ; 0), B(−1 ; 4 ; 5), C(0 ; 1 ; 0), D(−2 ; 2 ; 1) dans un repère orthonormé.

1Montrer que A, B et C déterminent un plan.Touche pour voir la correction

À retenir Trois points déterminent un plan s'ils ne sont pas alignés, c'est-à-dire si AB et AC ne sont pas colinéaires.

Démarche
  1. AB(−2 ; 1 ; 5) et AC(−1 ; −2 ; 0).
  2. Si AB = k AC : −2 = −k donne k = 2, puis 1 = −2k = −4 : impossible.
  3. Les vecteurs ne sont pas colinéaires.

RéponseA, B et C ne sont pas alignés : ils déterminent un plan.

2Montrer que ABC est rectangle en A.Touche pour voir la correction

À retenir Un angle droit en A équivaut à AB · AC = 0.

Démarche
  1. AB · AC = (−2)(−1) + (1)(−2) + (5)(0) = 2 − 2 + 0 = 0.

RéponseAB · AC = 0 : le triangle ABC est rectangle en A.

3aΔ passe par D et a pour vecteur directeur u(2 ; −1 ; 1). Démontrer que Δ est orthogonale à (ABC).Touche pour voir la correction

À retenir Une droite est orthogonale à un plan si son vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.

Démarche
  1. u · AB = −4 − 1 + 5 = 0.
  2. u · AC = −2 + 2 + 0 = 0.
  3. AB et AC sont non colinéaires (question 1).

Réponseu est orthogonal à AB et AC : Δ est orthogonale au plan (ABC).

3bJustifier que 2x − y + z + 1 = 0 est une équation de (ABC).Touche pour voir la correction

À retenir u est un vecteur normal : le plan a une équation 2x − y + z + d = 0 ; on détermine d avec un point.

Démarche
  1. u(2 ; −1 ; 1) est normal à (ABC).
  2. A : 2 × 1 − 3 + 0 + d = 0, donc d = 1.
  3. Contrôle : B : −2 − 4 + 5 + 1 = 0 ✓ ; C : 0 − 1 + 0 + 1 = 0 ✓.

Réponse(ABC) : 2x − y + z + 1 = 0.

3cDéterminer une représentation paramétrique de Δ.Touche pour voir la correction

À retenir Droite par D, de vecteur directeur u.

Démarche
  1. x = −2 + 2t, y = 2 − t, z = 1 + t, avec t réel.

RéponseΔ : x = −2 + 2t ; y = 2 − t ; z = 1 + t (t ∈ R).

4Vérifier que H(−2/3 ; 4/3 ; 5/3) est le projeté orthogonal de D sur (ABC).Touche pour voir la correction

À retenir Le projeté orthogonal est le point d'intersection de la perpendiculaire au plan passant par D avec le plan.

Démarche
  1. H est sur Δ : t = 2/3 donne x = −2 + 4/3 = −2/3, y = 2 − 2/3 = 4/3, z = 1 + 2/3 = 5/3 ✓.
  2. H est dans (ABC) : 2(−2/3) − 4/3 + 5/3 + 1 = −4/3 − 4/3 + 5/3 + 3/3 = 0 ✓.
  3. Δ est la perpendiculaire à (ABC) passant par D.

RéponseH appartient à Δ et au plan (ABC) : c'est le projeté orthogonal de D sur (ABC).

5aMontrer que DH = 2√6/3.Touche pour voir la correction

À retenir DH est la distance de D au plan, norme du vecteur DH.

Démarche
  1. DH(−2/3 + 2 ; 4/3 − 2 ; 5/3 − 1) = (4/3 ; −2/3 ; 2/3).
  2. DH = √(16/9 + 4/9 + 4/9) = √(24/9) = √24/3 = 2√6/3.

RéponseDH = 2√6/3 ≈ 1,63.

5bEn déduire le volume du tétraèdre ABCD.Touche pour voir la correction

À retenir V = (1/3) × aire de la base × hauteur, avec ABC pour base et DH pour hauteur.

Démarche
  1. Triangle ABC rectangle en A : aire = AB × AC / 2.
  2. AB = √(4 + 1 + 25) = √30 et AC = √(1 + 4) = √5, donc aire = √150 / 2 = 5√6/2.
  3. V = (1/3) × (5√6/2) × (2√6/3) = (1/3) × (5 × 6/3) = 10/3.

RéponseV = 10/3 (unités de volume).

Vérification √30 × √5 = √150 = 5√6 ✓ ; (5√6/2)(2√6/3) = 5 × 6/3 = 10.

6d : x = 1 − 2k, y = −3k, z = 1 + k. La droite d et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?Touche pour voir la correction

À retenir d est parallèle au plan si son vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal ; on regarde alors si un point de d est dans le plan.

Démarche
  1. Vecteur directeur de d : (−2 ; −3 ; 1) ; vecteur normal : (2 ; −1 ; 1).
  2. Produit scalaire : −4 + 3 + 1 = 0 : d est parallèle au plan.
  3. Point de d (k = 0) : (1 ; 0 ; 1) : 2 − 0 + 1 + 1 = 4 ≠ 0, donc non contenu dans le plan.

Réponsed et (ABC) sont (strictement) parallèles : ils n'ont aucun point commun.

Exercice 4 : Exercice 4 : cinq affirmations vrai ou faux5 points

Dénombrement, aire, intégrale, équation différentielle, limite d'une suite. Chaque réponse doit être justifiée.

Documents du sujet Cet exercice s'appuie sur des figures ou documents du sujet : Question 2 : parabole y = x² (f), carré ABCD de côté 3 (A à l'origine) et zone hachurée sous la parabole entre x = 0 et x = 3. Ils sont affichés avec la correction dans l'application.

1E = {1, ..., 7} et F = {0, ..., 9}. Affirmation 1 : il y a davantage de 3-uplets d'éléments distincts de E que de combinaisons à 4 éléments de F.Touche pour voir la correction

À retenir Les 3-uplets d'éléments distincts sont des arrangements : n(n − 1)(n − 2) ; les combinaisons : C(n, k).

Démarche
  1. 3-uplets d'éléments distincts de E : 7 × 6 × 5 = 210.
  2. Combinaisons à 4 éléments de F : C(10, 4) = 10 × 9 × 8 × 7 / 24 = 210.
  3. Les deux nombres sont égaux.

RéponseAffirmation fausse : il y en a autant (210 et 210).

Piège « Davantage » exclut l'égalité.

2Le carré ABCD a pour côté 3 ; la zone hachurée est sous la parabole y = x² entre x = 0 et x = 3. Affirmation 2 : la zone hachurée et le carré ABCD ont la même aire.Touche pour voir la correction

À retenir Aire sous une courbe positive : intégrale.

Démarche
  1. Aire du carré : 3 × 3 = 9.
  2. Zone hachurée : ∫ de 0 à 3 de x² dx = [x³/3] de 0 à 3 = 27/3 = 9.

RéponseAffirmation vraie : les deux aires valent 9.

Vérification Le carré a pour hauteur 3 alors que la parabole monte jusqu'à y = 9 en x = 3 : la partie de la zone hachurée qui dépasse du carré compense exactement la partie du carré non hachurée, d'où deux aires égales.

3J = ∫ de 1 à 2 de x ln x dx. Affirmation 3 : une intégration par parties donne J = 7/11.Touche pour voir la correction

À retenir u = ln x, v' = x ; v = x²/2.

Démarche
  1. J = [(x²/2) ln x] de 1 à 2 − ∫ de 1 à 2 de x/2 dx.
  2. [(x²/2) ln x] = 2 ln 2 − 0.
  3. ∫ de 1 à 2 de x/2 dx = [x²/4] de 1 à 2 = 1 − 1/4 = 3/4.
  4. J = 2 ln 2 − 3/4 ≈ 0,6363, tandis que 7/11 ≈ 0,6364.

RéponseAffirmation fausse : J = 2 ln 2 − 3/4 ≈ 0,6363, très proche de 7/11 ≈ 0,6364 mais différent (2 ln 2 − 3/4 est irrationnel car ln 2 est irrationnel, alors que 7/11 est rationnel).

Piège Les deux valeurs sont très voisines : seule la valeur exacte permet de trancher.

4(E) : y' = 2y − eˣ. Affirmation 4 : f(x) = eˣ + e²ˣ est solution de (E).Touche pour voir la correction

À retenir On dérive f et on compare f' à 2f − eˣ.

Démarche
  1. f'(x) = eˣ + 2e²ˣ.
  2. 2 f(x) − eˣ = 2eˣ + 2e²ˣ − eˣ = eˣ + 2e²ˣ.
  3. Les deux membres sont égaux pour tout x.

RéponseAffirmation vraie.

5x ∈ [0 ; 1[ et uₙ = (x − 1) eⁿ + cos n. Affirmation 5 : (uₙ) diverge vers −∞.Touche pour voir la correction

À retenir Comparaison : un terme tend vers −∞ et l'autre est borné.

Démarche
  1. x ∈ [0 ; 1[ donc x − 1 est strictement négatif : (x − 1) eⁿ tend vers −∞.
  2. −1 ≤ cos n ≤ 1 : uₙ ≤ (x − 1) eⁿ + 1, qui tend vers −∞.

RéponseAffirmation vraie : uₙ tend vers −∞.

Piège Si x = 1, le facteur (x − 1) serait nul : c'est pourquoi x est dans [0 ; 1[.

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