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Bac 2026

Mathématiques (épreuve anticipée, avec spécialité) – Amérique du Nord 2026 : correction détaillée

Épreuve anticipée, candidats avec enseignement de spécialité Mathématiques · 2 h · coefficient 2 · calculatrice interdite · 6 + 14 points

Corrigé

Correction rédigée par l'équipe BAC Révision, non officielle. Les énoncés sont reformulés avec leurs données : refais toujours les calculs et compare avec ton professeur.

Où trouver le sujet ? Cette page présente la correction. Le sujet officiel complet (PDF) et ses figures sont dans l'application BAC Révision.

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Exercice 1 : Première partie : automatismes, QCM6 points

Neuf questions à choix multiples, sans justification demandée ni calculatrice.

Documents du sujet Cet exercice s'appuie sur des figures ou documents du sujet : Question 4 : les quatre tableaux de signes proposés ; Question 6 : droite passant par (0 ; 30) et (3 ; 0). Ils sont affichés avec la correction dans l'application.

Q1Le nombre 1/2 + 3/2 × 4 est égal à : A. 8 ; B. 13/2 ; C. 4 ; D. 16/8.Touche pour voir la correction

À retenir Priorité de la multiplication sur l'addition.

Démarche
  1. 3/2 × 4 = 12/2 = 6.
  2. 1/2 + 6 = 1/2 + 12/2 = 13/2.

RéponseB (13/2)

Piège Ne pas additionner 1/2 + 3/2 avant de multiplier par 4 (cela donnerait 8).

Q2La partie visible d'un iceberg (10 % du volume total) mesure 150 km³. Quel est le volume total ? A. 1350 km³ ; B. 1500 km³ ; C. 15 km³ ; D. 135 km³.Touche pour voir la correction

À retenir Si 10 % du total vaut 150, le total vaut 150 ÷ 0,10.

Démarche
  1. 150 ÷ 0,1 = 1500.

RéponseB (1500 km³)

Vérification 10 % de 1500 = 150 ✓.

Q3Le prix d'un article est multiplié par 0,845. Cela signifie que le prix a : A. augmenté de 84,5 % ; B. baissé de 1,55 % ; C. augmenté de 15,5 % ; D. baissé de 15,5 %.Touche pour voir la correction

À retenir Un coefficient multiplicateur 1 + t/100 ; ici 0,845 < 1 donc baisse.

Démarche
  1. 1 − 0,845 = 0,155.
  2. Le prix baisse de 15,5 %.

RéponseD (baissé de 15,5 %)

Q4Tableau de signes de A(x) = (x + 5)(x + 8) sur R.Touche pour voir la correction

À retenir Un trinôme (x − a)(x − b) avec a < b est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles.

Démarche
  1. Racines : x = −5 et x = −8, donc −8 < −5.
  2. Le coefficient de x² est positif : signes + , − , + de gauche à droite avec les zéros en −8 puis −5.
  3. Contrôle : A(0) = 40 > 0 ✓ ; A(−6,5) = (−1,5)(1,5) < 0 ✓.

RéponseC (+ sur ]−∞ ; −8[, − sur ]−8 ; −5[, + sur ]−5 ; +∞[)

Piège Les tableaux A et B ont un signe − à l'extérieur : ce serait le cas de −(x + 5)(x + 8).

Q5Lettre choisie au hasard parmi 26. V : voyelle ; M : lettre du mot SINGE. Que vaut P_M(V) ? A. 6/26 ; B. 2/5 ; C. 2/6 ; D. 5/6.Touche pour voir la correction

À retenir Sachant M, l'univers se réduit aux 5 lettres de SINGE.

Démarche
  1. Lettres de SINGE : S, I, N, G, E (5 lettres distinctes).
  2. Voyelles parmi elles : I et E (2 lettres).
  3. P_M(V) = 2/5.

RéponseB (2/5)

Q6Une fonction affine est représentée par une droite passant par (0 ; 30) et (3 ; 0). Quelle est son expression ? A. −x + 30 ; B. 30x + 3 ; C. −10x + 30 ; D. −x/10 + 30.Touche pour voir la correction

À retenir f(x) = a x + b : b est l'ordonnée à l'origine et a = (variation de y)/(variation de x).

Démarche
  1. Ordonnée à l'origine : f(0) = 30, donc b = 30.
  2. La droite coupe l'axe des abscisses en 3 : f(3) = 0, donc a = (0 − 30)/(3 − 0) = −10.

RéponseC (f(x) = −10x + 30)

Vérification −10 × 3 + 30 = 0 ✓.

Q7Forme développée et réduite de (x + 2)² − (1 − x)². A. 2x² + 3 ; B. 6x + 3 ; C. 2x + 5 ; D. 2x² + 2x + 3.Touche pour voir la correction

À retenir (a + b)² = a² + 2ab + b² et (a − b)² = a² − 2ab + b².

Démarche
  1. (x + 2)² = x² + 4x + 4.
  2. (1 − x)² = 1 − 2x + x².
  3. Différence : x² + 4x + 4 − 1 + 2x − x² = 6x + 3.

RéponseB (6x + 3)

Vérification x = 0 : 4 − 1 = 3 ✓ ; x = 1 : 9 − 0 = 9 = 6 + 3 ✓.

Q8L'équation 2(x − 4) − (2x + 1) = 0 admet : A. deux solutions 4 et 1/2 ; B. deux solutions 4 et −1/2 ; C. aucune solution ; D. une infinité.Touche pour voir la correction

À retenir On développe : si les termes en x disparaissent, il reste une égalité vraie ou fausse.

Démarche
  1. 2x − 8 − 2x − 1 = −9.
  2. −9 = 0 est faux pour tout x.

RéponseC (aucune solution)

Piège Ce n'est pas une équation produit : les crochets ne donnent pas deux facteurs.

Q9E = (2 × 3²)/(27 × 2³) est égal à : A. 1/9 ; B. 1/12 ; C. 12 ; D. 1/6.Touche pour voir la correction

À retenir Décomposer en puissances de 2 et de 3 : 27 = 3³.

Démarche
  1. Numérateur : 2 × 3².
  2. Dénominateur : 3³ × 2³.
  3. E = 2¹ × 3² / (2³ × 3³) = 1/(2² × 3) = 1/12.

RéponseB (1/12)

Vérification 18/216 = 1/12 ✓.

Exercice 2 : Exercice 1 : un jeu de boules à la fête foraine6 points

Urne de dix boules rouges ou vertes ; mise de 1 euro ; deux tirages avec remise ; 2 rouges : 3 euros reçus ; 2 vertes : 1 euro reçu ; sinon rien. Partie A : 1 rouge et 9 vertes. Partie B : n rouges et 10 − n vertes.

Documents du sujet Cet exercice s'appuie sur des figures ou documents du sujet : Arbre pondéré à compléter (R₁ puis R₂). Ils sont affichés avec la correction dans l'application.

A1Compléter l'arbre pondéré (urne : 1 rouge, 9 vertes).Touche pour voir la correction

À retenir Tirages avec remise : les deux tirages sont indépendants et les probabilités se répètent.

Démarche
  1. P(R) = 1/10 = 0,1 et P(V) = 9/10 = 0,9 à chaque tirage.
  2. Branches : R₁ (0,1), non R₁ (0,9) ; après chaque nœud : R₂ (0,1) et non R₂ (0,9).

RéponseToutes les branches « rouge » valent 0,1 et toutes les branches « verte » valent 0,9.

A2aDonner les valeurs prises par X, le gain algébrique (somme reçue moins la mise de 1 euro).Touche pour voir la correction

À retenir Gain algébrique = somme reçue − mise.

Démarche
  1. Deux rouges : 3 − 1 = 2.
  2. Deux vertes : 1 − 1 = 0.
  3. Une rouge et une verte : 0 − 1 = −1.

RéponseX prend les valeurs −1, 0 et 2.

A2bMontrer que P(X = −1) = 18/100.Touche pour voir la correction

À retenir Deux boules de couleurs différentes : (R puis V) ou (V puis R), événements incompatibles.

Démarche
  1. P(R₁ ∩ V₂) = 0,1 × 0,9 = 0,09.
  2. P(V₁ ∩ R₂) = 0,9 × 0,1 = 0,09.
  3. P(X = −1) = 0,09 + 0,09 = 0,18 = 18/100.

RéponseP(X = −1) = 18/100.

A2cCompléter la loi de probabilité de X.Touche pour voir la correction

À retenir La somme des probabilités est égale à 1.

Démarche
  1. P(X = 2) = P(R₁ ∩ R₂) = 0,1 × 0,1 = 0,01.
  2. P(X = 0) = P(V₁ ∩ V₂) = 0,9 × 0,9 = 0,81.
  3. Contrôle : 0,18 + 0,81 + 0,01 = 1.

Réponsek = −1, 0, 2 avec P(X = k) = 0,18 ; 0,81 ; 0,01.

Vérification Somme = 1 ✓.

A2dCalculer l'espérance de X et interpréter.Touche pour voir la correction

À retenir E(X) = somme de k × P(X = k).

Démarche
  1. E(X) = (−1) × 0,18 + 0 × 0,81 + 2 × 0,01.
  2. = −0,18 + 0 + 0,02 = −0,16.

RéponseE(X) = −0,16 euro : en moyenne, un joueur perd 0,16 euro par partie (le jeu est défavorable au joueur).

B1Démontrer que E(Y) = (4n² − 20n)/100 (n boules rouges, 10 − n vertes).Touche pour voir la correction

À retenir Même loi que partie A avec p(rouge) = n/10 et p(verte) = (10 − n)/10, tirages indépendants.

Démarche
  1. P(deux rouges) = (n/10)² = n²/100, gain 2.
  2. P(deux vertes) = ((10 − n)/10)² = (10 − n)²/100, gain 0.
  3. P(une de chaque) = 2 × (n/10) × ((10 − n)/10) = 2n(10 − n)/100, gain −1.
  4. E(Y) = 2 × n²/100 + 0 − 2n(10 − n)/100 = (2n² − 20n + 2n²)/100 = (4n² − 20n)/100.

RéponseE(Y) = (4n² − 20n)/100.

Vérification n = 1 : (4 − 20)/100 = −0,16 ✓ (partie A).

B2Pour combien de boules rouges le jeu est-il équitable ?Touche pour voir la correction

À retenir Jeu équitable : espérance de gain nulle.

Démarche
  1. E(Y) = 0 équivaut à 4n² − 20n = 0, soit 4n(n − 5) = 0.
  2. n = 0 ou n = 5.
  3. n = 0 : aucune boule rouge, le joueur reçoit toujours 1 euro pour 1 euro misé (jeu sans enjeu).

RéponseLe jeu est équitable pour n = 5 boules rouges (et, trivialement, pour n = 0).

Piège Ne pas oublier la solution n = 0, même si elle n'a pas d'intérêt pratique ; la solution intéressante est n = 5.

Exercice 3 : Exercice 2 : panneaux solaires de Camille4 points

Partie A : lecture graphique de la puissance au cours d'une journée ensoleillée. Partie B : coût du kWh (+6 % par an depuis 2020, 0,15 € en 2020) et programme Python.

Documents du sujet Cet exercice s'appuie sur des figures ou documents du sujet : Partie A : puissance électrique (kW) en fonction de l'heure (maximum 8 kW à 13 h). Ils sont affichés avec la correction dans l'application.

A1Donner la puissance électrique des panneaux à 11 h 00.Touche pour voir la correction

À retenir Lecture graphique : on repère x = 11 sur l'axe horizontal, puis on lit l'ordonnée du point de la courbe.

Démarche
  1. On se place en x = 11 (11 h 00) sur l'axe horizontal.
  2. On monte jusqu'à la courbe : le point se situe au niveau de la 6e graduation de l'axe vertical (une graduation = 1 kW), soit environ 6,1 kW sur le graphique agrandi.

RéponseÀ 11 h 00, la puissance des panneaux est d'environ 6 kW (lecture : 6,1 kW à ± 0,2 kW près).

Vérification Lecture sur le graphique agrandi : f(11) ≈ 6,1 kW.

A2Résoudre graphiquement f(x) ≥ 5 et interpréter.Touche pour voir la correction

À retenir Les solutions de f(x) ≥ 5 sont les abscisses des points de la courbe situés au-dessus de la droite d'équation y = 5.

Démarche
  1. On trace la droite horizontale d'équation y = 5.
  2. La courbe est au-dessus de cette droite entre ses deux points d'intersection, situés aux abscisses 10,5 (montée) et 15,4 (descente), à ± 0,1 près.
  3. Les solutions de f(x) ≥ 5 forment donc l'intervalle [10,5 ; 15,4].
  4. Interprétation : x est l'heure de la journée et f(x) la puissance en kW ; la puissance atteint au moins 5 kW d'environ 10 h 30 à 15 h 24, soit près de 5 heures.

RéponseGraphiquement, f(x) ≥ 5 pour x ∈ [10,5 ; 15,4], bornes lues à ± 0,1 près. Les panneaux délivrent au moins 5 kW d'environ 10 h 30 à 15 h 24, soit près de 5 heures.

Vérification Sur le graphique agrandi : f(10,5) ≈ 4,9 et f(15) ≈ 5,9 ; f(15,5) ≈ 4,7, donc la descente passe par 5 vers x = 15,4.

Piège L'énoncé demande une résolution « avec la précision permise par le graphique » : on donne des bornes à 0,1 près. La courbe n'est pas exactement symétrique par rapport à x = 13 : il faut lire chaque borne séparément.

B1Déterminer la nature de la suite (cₙ) et préciser sa raison.Touche pour voir la correction

À retenir Une augmentation de 6 % revient à multiplier par 1 + 6/100 = 1,06 : suite géométrique.

Démarche
  1. cₙ₊₁ = cₙ × 1,06 pour tout n.

Réponse(cₙ) est une suite géométrique de raison 1,06 et de premier terme c₀ = 0,15.

B2Exprimer cₙ en fonction de n.Touche pour voir la correction

À retenir Terme général d'une suite géométrique : cₙ = c₀ × qⁿ.

Démarche
  1. cₙ = 0,15 × 1,06ⁿ.

Réponsecₙ = 0,15 × 1,06ⁿ.

B3Donner le calcul du coût pour 1 kWh consommé en 2030.Touche pour voir la correction

À retenir 2030 = 2020 + 10, donc n = 10.

Démarche
  1. c₁₀ = 0,15 × 1,06¹⁰.

Réponsec₁₀ = 0,15 × 1,06¹⁰ (≈ 0,27 €).

B4aQue représentent les variables c et S du programme ?Touche pour voir la correction

À retenir Lire l'initialisation et la mise à jour dans la boucle while.

Démarche
  1. c commence à 0,15 et est multiplié par 1,06 à chaque tour : c est le coût d'un kWh l'année 2020 + n.
  2. S est augmenté de c × 2000 à chaque tour : 2 000 kWh non achetés, valorisés au prix de l'année : S est la somme économisée cumulée depuis 2020.

Réponsec : coût (en €) d'un kWh pour l'année courante ; S : économies cumulées (en €) grâce aux panneaux depuis 2020 (2000 kWh × coût de chaque année).

B4bLe programme affiche 16 : interpréter.Touche pour voir la correction

À retenir La boucle s'arrête dès que S ≥ 7000 (coût de l'installation) ; n compte le nombre de tours.

Démarche
  1. À la sortie, S ≥ 7000 € : les économies cumulées couvrent le prix de l'installation.
  2. n = 16 : c'est le nombre d'années (2020, 2021, ..., 2035) nécessaires.

RéponseL'installation est rentabilisée au bout de 16 ans : les économies cumulées dépassent 7 000 € à la fin de l'année 2035.

Vérification Calcul de contrôle : après 15 ans S ≈ 6 983 € (< 7 000) et après 16 ans S ≈ 7 702 €.

Exercice 4 : Exercice 3 : fonction avec exponentielle4 points

f(x) = (4x − 4) e^(−0,5x) + 5 sur R, dérivable ; f' sa dérivée.

1Montrer que f'(x) = (−2x + 6) e^(−0,5x).Touche pour voir la correction

À retenir (u v)' = u'v + u v' avec (e^(a x))' = a e^(a x).

Démarche
  1. u = 4x − 4, u' = 4 ; v = e^(−0,5x), v' = −0,5 e^(−0,5x).
  2. f'(x) = 4 e^(−0,5x) + (4x − 4)(−0,5) e^(−0,5x).
  3. = (4 − 2x + 2) e^(−0,5x) = (−2x + 6) e^(−0,5x).
  4. La constante 5 a une dérivée nulle.

Réponsef'(x) = (−2x + 6) e^(−0,5x).

2Étudier le signe de f'(x) puis les variations de f.Touche pour voir la correction

À retenir e^(−0,5x) > 0 : le signe de f' est celui de −2x + 6.

Démarche
  1. −2x + 6 > 0 équivaut à x < 3.
  2. f' > 0 sur ]−∞ ; 3[, f'(3) = 0, f' < 0 sur ]3 ; +∞[.
  3. f est donc croissante sur ]−∞ ; 3] et décroissante sur [3 ; +∞[ ; maximum en x = 3.

Réponsef est strictement croissante sur ]−∞ ; 3], strictement décroissante sur [3 ; +∞[, avec un maximum f(3) = 8 e^(−1,5) + 5.

3La courbe admet-elle des points à tangente horizontale ? Coordonnées exactes.Touche pour voir la correction

À retenir Tangente horizontale en x = a si f'(a) = 0.

Démarche
  1. f'(x) = 0 équivaut à −2x + 6 = 0 (car e^(−0,5x) ≠ 0), soit x = 3.
  2. f(3) = (12 − 4) e^(−1,5) + 5 = 8 e^(−3/2) + 5.

RéponseOui, un seul point : (3 ; 5 + 8 e^(−3/2)) ≈ (3 ; 6,79).

Vérification f(3) ≈ 5 + 8 × 0,2231 = 6,785.

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