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Bac 2026

Mathématiques (épreuve anticipée, avec spécialité) – Antilles-Guyane 2026 : correction détaillée

Épreuve anticipée, candidats avec enseignement de spécialité Mathématiques · 2 h · coefficient 2 · calculatrice interdite · 6 + 14 points

Corrigé

Correction rédigée par l'équipe BAC Révision, non officielle. Les énoncés sont reformulés avec leurs données : refais toujours les calculs et compare avec ton professeur.

Où trouver le sujet ? Cette page présente la correction. Le sujet officiel complet (PDF) et ses figures sont dans l'application BAC Révision.

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Exercice 1 : Première partie : automatismes, QCM6 points

Huit questions à choix multiples, sans justification demandée ni calculatrice.

Documents du sujet Cet exercice s'appuie sur des figures ou documents du sujet : Question 3 : courbe de f sur [−5 ; 9]. Ils sont affichés avec la correction dans l'application.

Q1Une forme factorisée de 9x² − 1/9 est : a. (3x − 1/3)² ; b. (3x − 1/3)(3x + 1/3) ; c. (9x − 1/3)² ; d. (9x − 1/3)(9x + 1/3).Touche pour voir la correction

À retenir Identité remarquable : a² − b² = (a − b)(a + b).

Démarche
  1. 9x² = (3x)² et 1/9 = (1/3)².
  2. 9x² − 1/9 = (3x − 1/3)(3x + 1/3).

Réponseb

Vérification Développement : 9x² + x − x − 1/9 = 9x² − 1/9 ✓.

Q2E = (x − y)/(z t) avec x = 3, y = −2, z = −3, t = −4. a. 1/12 ; b. −5/12 ; c. 5/12 ; d. −1/12.Touche pour voir la correction

À retenir Attention aux signes : x − (−2) = x + 2 et (−3)(−4) = +12.

Démarche
  1. x − y = 3 − (−2) = 5.
  2. z t = (−3) × (−4) = 12.
  3. E = 5/12.

Réponsec (5/12)

Q3Sur la courbe de f (définie sur [−5 ; 9]), A = f(−4)/f(−1). Laquelle est vraie : a. A = 0 ; b. A < 0 ; c. A > 0 ; d. on ne peut pas connaître le signe ?Touche pour voir la correction

À retenir Le signe d'un quotient se déduit des signes du numérateur et du dénominateur, lus sur le graphique.

Démarche
  1. En x = −4 la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses (elle part du point (−5 ; 3) et ne coupe l'axe qu'en x = −3) : f(−4) est positif (entre 1 et 2).
  2. En x = −1 la courbe est en dessous de l'axe (c'est son minimum local, atteint au point (−1 ; −2)) : f(−1) = −2 < 0.
  3. Un quotient d'un positif par un négatif est négatif.

Réponseb (A < 0)

Piège Ne te laisse pas gêner par la valeur exacte : seul le signe compte. f(−4) > 0 et f(−1) = −2 < 0 suffisent pour conclure.

Q4Inéquation −2x + 2 ≥ 0 sur R : S = ? a. ]−∞ ; 1] ; b. [1 ; +∞[ ; c. [−1 ; +∞[ ; d. ]−∞ ; −1].Touche pour voir la correction

À retenir En divisant par un nombre négatif, l'inégalité change de sens.

Démarche
  1. −2x ≥ −2.
  2. On divise par −2 : x ≤ 1.

Réponsea (S = ]−∞ ; 1])

Vérification x = 0 : 2 ≥ 0 ✓ ; x = 2 : −2 < 0 donc 2 est exclu ✓.

Q5Tableau de signes de f : + sur ]−∞ ; −3[, − sur ]−3 ; 2[, + sur ]2 ; +∞[. Expression possible ? a. (x + 3)(2 − x) ; b. (x + 2)(x − 3) ; c. (x − 2)(x + 3) ; d. (x + 2)(3 + x).Touche pour voir la correction

À retenir Les zéros sont −3 et 2 ; le signe + à l'extérieur correspond à un coefficient de x² positif.

Démarche
  1. Zéros : x = −3 et x = 2, donc des facteurs (x + 3) et (x − 2).
  2. Le produit (x − 2)(x + 3) a un coefficient dominant positif : + à l'extérieur des racines.
  3. (x + 3)(2 − x) est positif entre les racines : ne convient pas.

Réponsec (f(x) = (x − 2)(x + 3))

Q6Un prix baisse de 50 % puis augmente de 40 %. Ces variations sont équivalentes à : a. baisse de 0 % ; b. baisse de 70 % ; c. baisse de 10 % ; d. baisse de 30 %.Touche pour voir la correction

À retenir Les coefficients multiplicateurs se multiplient : baisse de 50 % → × 0,5 ; hausse de 40 % → × 1,4.

Démarche
  1. 0,5 × 1,4 = 0,7.
  2. × 0,7 correspond à une baisse de 30 %.

Réponsed (baisse de 30 %)

Piège On n'additionne pas les pourcentages (−50 + 40 = −10 est faux).

Q740 % des adhérents sont des hommes et il y a 30 femmes. Nombre total d'adhérents : a. 70 ; b. 40 ; c. 75 ; d. 50.Touche pour voir la correction

À retenir Si 40 % sont des hommes, 60 % sont des femmes.

Démarche
  1. 60 % du total = 30.
  2. Total = 30 ÷ 0,6 = 50.

Réponsed (50)

Vérification 40 % de 50 = 20 hommes, 20 + 30 = 50 ✓.

Q8Une seule égalité est vraie (a réel non nul) : a. a⁸/a⁻⁵ = a³ ; b. a³⁰/a² = a¹⁵ ; c. (a¹⁰)³ = a¹³ ; d. a × a⁵/a² = a⁴.Touche pour voir la correction

À retenir aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ; aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.

Démarche
  1. a : a⁸⁻⁽⁻⁵⁾ = a¹³ ≠ a³.
  2. b : a³⁰⁻² = a²⁸ ≠ a¹⁵.
  3. c : (a¹⁰)³ = a³⁰ ≠ a¹³.
  4. d : a × a⁵ = a⁶ et a⁶/a² = a⁴ ✓.

Réponsed

Exercice 2 : Exercice 1 : valeur d'une voiture (suite géométrique)5 points

Valeur de 10 000 € en janvier 2025, puis baisse de 10 % par an. uₙ est la valeur en janvier de l'année 2025 + n. Aide au calcul : 0,9⁴ = 0,6561 ; 0,9⁵ = 0,59049 ; 0,9⁶ = 0,531441.

1aValeur de la voiture en janvier 2026.Touche pour voir la correction

À retenir Une baisse de 10 % revient à multiplier par 0,9.

Démarche
  1. u₁ = 10 000 × 0,9 = 9 000.

Réponse9 000 euros.

1bJustifier que uₙ₊₁ = 0,9 uₙ.Touche pour voir la correction

À retenir Baisse de t % : coefficient 1 − t/100.

Démarche
  1. Chaque année, la valeur diminue de 10 % : uₙ₊₁ = uₙ − 0,1 uₙ = 0,9 uₙ.

Réponseuₙ₊₁ = 0,9 uₙ pour tout n.

2Nature de la suite (uₙ) et sa raison.Touche pour voir la correction

À retenir Suite géométrique : uₙ₊₁ = q uₙ.

Démarche
  1. On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par 0,9.

Réponse(uₙ) est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme u₀ = 10 000.

3aExprimer uₙ en fonction de n.Touche pour voir la correction

À retenir Terme général : uₙ = u₀ × qⁿ.

Démarche
  1. uₙ = 10 000 × 0,9ⁿ.

Réponseuₙ = 10 000 × 0,9ⁿ.

3bValeur de la voiture en janvier 2030.Touche pour voir la correction

À retenir 2030 = 2025 + 5, donc n = 5.

Démarche
  1. u₅ = 10 000 × 0,9⁵ = 10 000 × 0,59049 = 5 904,9.

Réponse5 904,90 euros.

4Compléter le programme seuil(A) pour qu'il renvoie la plus petite valeur de n telle que uₙ < A.Touche pour voir la correction

À retenir Tant que la valeur est supérieure ou égale à A, on continue à la faire baisser.

Démarche
  1. Condition de la boucle : while U >= A.
  2. Mise à jour : U = 0.9 * U (ou U = 0.9 × U).
  3. N compte le nombre d'années écoulées ; return N.

Réponsedef seuil(A): N = 0 U = 10000 while U >= A: U = 0.9 * U N = N + 1 return N

Piège Il faut >= et non > : on veut s'arrêter dès que uₙ < A, donc on boucle tant que uₙ ≥ A.

5aInterpréter seuil(5000) = 7.Touche pour voir la correction

À retenir n = 7 est le premier rang où uₙ < 5000.

Démarche
  1. n = 7 correspond à janvier 2025 + 7 = 2032.
  2. La valeur y passe sous 5 000 € (la moitié de la valeur initiale).

RéponseC'est à partir de janvier 2032 (7 ans après 2025) que la valeur de la voiture devient inférieure à 5 000 euros.

5bAnnée à partir de laquelle la voiture a perdu plus des trois quarts de sa valeur initiale.Touche pour voir la correction

À retenir Perdre plus des 3/4 : il reste moins de 1/4 de 10 000 = 2 500 euros.

Démarche
  1. On cherche le premier n tel que uₙ < 2 500.
  2. seuil(2500) = 14 donc u₁₄ < 2 500.
  3. Année : 2025 + 14 = 2039.

RéponseÀ partir de janvier 2039 (14 ans plus tard), la valeur est inférieure à 2 500 € : plus des trois quarts de la valeur initiale sont perdus.

Vérification 10 000 × 0,9¹⁴ ≈ 2 288 < 2 500 et 10 000 × 0,9¹³ ≈ 2 542 > 2 500 (valeurs arrondies à l'unité) ✓.

Exercice 3 : Exercice 2 : spectateurs d'un cinéma (probabilités)5 points

A : « le spectateur est abonné » (60 %) ; J : « le spectateur est jeune » (18 ans ou moins). Parmi les abonnés, 40 % sont jeunes ; parmi les non-abonnés, 20 %.

Documents du sujet Cet exercice s'appuie sur des figures ou documents du sujet : Arbre pondéré à compléter (A puis J). Ils sont affichés avec la correction dans l'application.

1Compléter l'arbre pondéré.Touche pour voir la correction

À retenir Les probabilités des branches issues d'un même nœud ont pour somme 1.

Démarche
  1. Premier niveau : A (0,6) et non A (0,4).
  2. Après A : J (0,4) et non J (0,6).
  3. Après non A : J (0,2) et non J (0,8).

RéponseA (0,6) → J (0,4) / non J (0,6) ; non A (0,4) → J (0,2) / non J (0,8).

2Calculer P(A ∩ J) et interpréter.Touche pour voir la correction

À retenir P(A ∩ J) = P(A) × P_A(J).

Démarche
  1. P(A ∩ J) = 0,6 × 0,4 = 0,24.

RéponseP(A ∩ J) = 0,24 : 24 % des spectateurs sont à la fois abonnés et jeunes.

3Démontrer que P(J) = 0,32.Touche pour voir la correction

À retenir Formule des probabilités totales avec la partition {A, non A}.

Démarche
  1. P(non A ∩ J) = 0,4 × 0,2 = 0,08.
  2. P(J) = P(A ∩ J) + P(non A ∩ J) = 0,24 + 0,08 = 0,32.

RéponseP(J) = 0,32.

4« Si on interroge un spectateur jeune, il y a plus d'une chance sur deux qu'il soit abonné » : exact ?Touche pour voir la correction

À retenir On calcule la probabilité conditionnelle P_J(A) = P(A ∩ J) / P(J).

Démarche
  1. P_J(A) = 0,24 / 0,32 = 24/32 = 3/4 = 0,75.
  2. 0,75 > 0,5.

RéponseL'affirmation est exacte : P_J(A) = 0,75 (trois chances sur quatre).

Piège Ne pas confondre P_J(A) = 0,75 avec P_A(J) = 0,4.

5aLoi de probabilité de X, le prix payé pour la place.Touche pour voir la correction

À retenir On liste les prix possibles et on associe les événements correspondants.

Démarche
  1. Non abonné : 5 € (probabilité P(non A) = 0,4).
  2. Abonné non jeune : 2 € : P(A ∩ non J) = 0,6 × 0,6 = 0,36.
  3. Abonné jeune : 0 € : P(A ∩ J) = 0,24.
  4. Contrôle : 0,4 + 0,36 + 0,24 = 1.

RéponseP(X = 0) = 0,24 ; P(X = 2) = 0,36 ; P(X = 5) = 0,4.

5bCalculer E(X) et interpréter.Touche pour voir la correction

À retenir E(X) = somme des valeurs fois les probabilités.

Démarche
  1. E(X) = 0 × 0,24 + 2 × 0,36 + 5 × 0,4.
  2. = 0 + 0,72 + 2 = 2,72.

RéponseE(X) = 2,72 euros : en moyenne, un spectateur paie sa place 2,72 euros.

Exercice 4 : Exercice 3 : affirmations vrai ou faux4 points

Une question de géométrie plane et une de fonction avec exponentielle. Chaque réponse doit être justifiée.

1A(2 ; 0), B(3 ; 2), C(0 ; 4). Affirmation : les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.Touche pour voir la correction

À retenir Dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires si le produit scalaire de deux vecteurs directeurs est nul.

Démarche
  1. AB(1 ; 2) et AC(−2 ; 4).
  2. AB · AC = 1 × (−2) + 2 × 4 = −2 + 8 = 6 ≠ 0.

RéponseAffirmation fausse : AB · AC = 6 ≠ 0, les droites ne sont pas perpendiculaires.

2af(x) = (3x − 1) eˣ sur R. Affirmation : f est croissante sur R.Touche pour voir la correction

À retenir On dérive f et on étudie le signe de f'.

Démarche
  1. f'(x) = 3 eˣ + (3x − 1) eˣ = (3x + 2) eˣ.
  2. f'(x) a le signe de 3x + 2 : négatif pour x < −2/3.
  3. Exemple : f'(−1) = −e⁻¹ < 0.

RéponseAffirmation fausse : f est décroissante sur ]−∞ ; −2/3] puis croissante sur [−2/3 ; +∞[.

2bAffirmation : la tangente à C au point d'abscisse 0 a pour équation y = 2x − 1.Touche pour voir la correction

À retenir Tangente en a : y = f'(a)(x − a) + f(a).

Démarche
  1. f(0) = (0 − 1) e⁰ = −1.
  2. f'(0) = (0 + 2) e⁰ = 2.
  3. y = 2(x − 0) + (−1) = 2x − 1.

RéponseAffirmation vraie : y = 2x − 1.

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