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Bac 2026

Mathématiques (épreuve anticipée, avec spécialité) – Métropole 2026 : correction détaillée

Épreuve anticipée, candidats avec enseignement de spécialité Mathématiques · 2 h · coefficient 2 · calculatrice interdite · 6 + 14 points

Corrigé

Correction rédigée par l'équipe BAC Révision, non officielle. Les énoncés sont reformulés avec leurs données : refais toujours les calculs et compare avec ton professeur.

Où trouver le sujet ? Cette page présente la correction. Le sujet officiel complet (PDF) et ses figures sont dans l'application BAC Révision.

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Exercice 1 : Première partie : automatismes, QCM6 points

Huit questions à choix multiples, sans justification demandée ni calculatrice.

Documents du sujet Cet exercice s'appuie sur des figures ou documents du sujet : Question 2 : la droite (Δ) dans le repère (O, I, J). Ils sont affichés avec la correction dans l'application.

Q1Forme développée de (3x − 2)² : a. 9x² − 4 ; b. 3x² − 12x + 4 ; c. 9x² − 12x + 4 ; d. 6x − 4.Touche pour voir la correction

À retenir (a − b)² = a² − 2ab + b².

Démarche
  1. a = 3x et b = 2.
  2. (3x)² − 2 × 3x × 2 + 2² = 9x² − 12x + 4.

Réponsec

Piège Le double produit −12x ne doit pas être oublié (a. est (3x − 2)(3x + 2)).

Q2La droite (Δ) dans le repère (O, I, J) a pour équation : a. y = 2x + 2 ; b. y = −2x + 2 ; c. y = −x + 2 ; d. y = x + 2.Touche pour voir la correction

À retenir Équation y = m x + p : p est l'ordonnée à l'origine, m le coefficient directeur (négatif si la droite descend).

Démarche
  1. La droite coupe l'axe des ordonnées en y = 2 : p = 2.
  2. Elle coupe l'axe des abscisses en x = 2 : m = (0 − 2)/(2 − 0) = −1.
  3. La droite descend de gauche à droite : m < 0.

Réponsec (y = −x + 2)

Vérification Pour x = 2 : y = 0 ✓.

Q375 % des élèves étudient le grec ; les autres étudient le latin : 9 élèves. Effectif de la classe : a. 24 ; b. 30 ; c. 34 ; d. 36.Touche pour voir la correction

À retenir Si 75 % étudient le grec, 25 % étudient le latin.

Démarche
  1. 25 % de l'effectif = 9.
  2. Effectif = 9 ÷ 0,25 = 36.

Réponsed (36)

Vérification 75 % de 36 = 27 et 27 + 9 = 36 ✓.

Q4Un prix augmente de 15 %. Il est multiplié par : a. 15/100 ; b. 1,15 ; c. 0,85 ; d. 1,115.Touche pour voir la correction

À retenir Hausse de t % : coefficient 1 + t/100.

Démarche
  1. 1 + 15/100 = 1,15.

Réponseb (1,15)

Q5Valeur la plus proche de 150 000/3 200 : a. 5 ; b. 50 ; c. 500 ; d. 5 000.Touche pour voir la correction

À retenir Estimer un ordre de grandeur en arrondissant.

Démarche
  1. 3 200 ≈ 3 000 et 150 000 = 150 × 1 000.
  2. 150 000/3 000 = 50.

Réponseb (50)

Vérification Valeur exacte : 46,875.

Q6Une vidéo de 1 min 40 s contient 2 400 images. Nombre d'images par seconde : a. 60 ; b. 24 ; c. 120 ; d. 15.Touche pour voir la correction

À retenir Convertir la durée en secondes avant de diviser.

Démarche
  1. 1 min 40 s = 60 + 40 = 100 s.
  2. 2 400 ÷ 100 = 24.

Réponseb (24 images par seconde)

Q7f(x) = 0,5 (x − 3)² + 10. Quel point appartient à la courbe ? a. A(−3 ; 10) ; b. B(3 ; 10,5) ; c. C(3 ; 10) ; d. D(0 ; 19,5).Touche pour voir la correction

À retenir Un point (a ; b) est sur la courbe si b = f(a).

Démarche
  1. f(3) = 0,5 × 0 + 10 = 10 : le point C(3 ; 10) convient.
  2. f(−3) = 0,5 × 36 + 10 = 28 ≠ 10 ; f(0) = 0,5 × 9 + 10 = 14,5 ≠ 19,5.

Réponsec (C(3 ; 10))

Piège B(3 ; 10,5) est faux : f(3) = 10 exactement.

Q8A = 10²⁰¹ × 10⁻⁴ / (10²)¹⁰⁰ : a. −0,001 ; b. 0,0001 ; c. 0,001 ; d. 1 000.Touche pour voir la correction

À retenir 10ᵃ × 10ᵇ = 10ᵃ⁺ᵇ ; (10ᵃ)ᵇ = 10ᵃᵇ ; 10ᵃ/10ᵇ = 10ᵃ⁻ᵇ.

Démarche
  1. Numérateur : 10²⁰¹⁻⁴ = 10¹⁹⁷.
  2. Dénominateur : (10²)¹⁰⁰ = 10²⁰⁰.
  3. A = 10¹⁹⁷⁻²⁰⁰ = 10⁻³ = 0,001.

Réponsec (0,001)

Exercice 2 : Exercice 1 : location de bicyclettes (probabilités)5 points

60 % des clients louent une bicyclette traditionnelle (T), les autres une électrique ; 25 % des clients T prennent une assurance (A) ; 20 % de l'ensemble des clients prennent une assurance.

Documents du sujet Cet exercice s'appuie sur des figures ou documents du sujet : Arbre pondéré à compléter (T puis A). Ils sont affichés avec la correction dans l'application.

1Compléter l'arbre pondéré.Touche pour voir la correction

À retenir Les branches issues d'un même nœud ont pour somme 1 ; les branches de T̄ se calculent avec les questions 2 à 5.

Démarche
  1. Premier niveau : T (0,6) et T̄ (0,4).
  2. Après T : A (0,25) et Ā (0,75).
  3. Après T̄ : A avec P_T̄(A) = 1/8 (déterminée à la question 5) et Ā avec 7/8.

RéponseT (0,6) → A (0,25) / Ā (0,75) ; T̄ (0,4) → A (1/8) / Ā (7/8).

2Donner, par simple lecture de l'énoncé, la probabilité de A.Touche pour voir la correction

À retenir Pourcentage de l'ensemble des clients = probabilité de l'événement.

Démarche
  1. « 20 % de l'ensemble des clients ont pris une assurance ».

RéponseP(A) = 0,2.

3Montrer que P(T ∩ A) = 0,15.Touche pour voir la correction

À retenir P(T ∩ A) = P(T) × P_T(A).

Démarche
  1. P(T ∩ A) = 0,6 × 0,25 = 0,15.

RéponseP(T ∩ A) = 0,15.

4En déduire que P(T̄ ∩ A) = 0,05.Touche pour voir la correction

À retenir Probabilités totales : P(A) = P(T ∩ A) + P(T̄ ∩ A).

Démarche
  1. P(T̄ ∩ A) = P(A) − P(T ∩ A) = 0,2 − 0,15 = 0,05.

RéponseP(T̄ ∩ A) = 0,05.

5Probabilité que le client ait pris une assurance sachant qu'il a loué une bicyclette électrique (fraction irréductible).Touche pour voir la correction

À retenir P_T̄(A) = P(T̄ ∩ A) / P(T̄), avec P(T̄) = 1 − 0,6 = 0,4.

Démarche
  1. P_T̄(A) = 0,05 / 0,4 = 5/40.
  2. 5/40 = 1/8.

RéponseP_T̄(A) = 1/8 (= 0,125).

Vérification Probabilités totales : 0,6 × 0,25 + 0,4 × 1/8 = 0,15 + 0,05 = 0,2 ✓.

Exercice 3 : Exercice 2 : trois affirmations vrai ou faux5 points

Équation du second degré à paramètre, suite géométrique, tangente à une courbe. Chaque réponse doit être justifiée.

1(E) : x² + x − u² = 0, u réel. Affirmation : quelle que soit la valeur de u, (E) possède deux solutions réelles distinctes.Touche pour voir la correction

À retenir Une équation ax² + bx + c = 0 a deux solutions réelles distinctes si Δ = b² − 4ac > 0.

Démarche
  1. a = 1, b = 1, c = −u².
  2. Δ = 1 − 4 × 1 × (−u²) = 1 + 4u².
  3. u² ≥ 0 donc Δ ≥ 1 > 0 pour tout réel u.

RéponseAffirmation vraie : Δ = 1 + 4u² > 0, il y a toujours deux solutions distinctes.

2uₙ = 2⁻ⁿ. Affirmation : (uₙ) est une suite géométrique de raison 1/2.Touche pour voir la correction

À retenir Suite géométrique : uₙ₊₁/uₙ constant (ou uₙ₊₁ = q uₙ).

Démarche
  1. uₙ₊₁ = 2⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ = 2⁻ⁿ × 2⁻¹ = uₙ × 1/2.
  2. On peut aussi écrire uₙ = (1/2)ⁿ.

RéponseAffirmation vraie : raison 1/2 et premier terme u₀ = 1.

3f(x) = eˣ − 1 ; T tangente à C au point d'abscisse 0 ; A(3 ; 3). Affirmation : A appartient à T.Touche pour voir la correction

À retenir Tangente en 0 : y = f'(0)(x − 0) + f(0).

Démarche
  1. f(0) = e⁰ − 1 = 0.
  2. f'(x) = eˣ, donc f'(0) = 1.
  3. T : y = x.
  4. Pour A : y = 3 = x ✓.

RéponseAffirmation vraie : T a pour équation y = x et A(3 ; 3) est sur cette droite.

Exercice 4 : Exercice 3 : produit scalaire et angle4 points

Repère orthonormal, P(4 ; 0), K(1 ; 0), M(x ; 3) avec x réel.

Documents du sujet Cet exercice s'appuie sur des figures ou documents du sujet : Les points K, P sur l'axe des abscisses et M à la hauteur 3. Ils sont affichés avec la correction dans l'application.

1Coordonnées du vecteur KP et sa norme.Touche pour voir la correction

À retenir Vecteur AB(x_B − x_A ; y_B − y_A) ; norme √(a² + b²).

Démarche
  1. KP(4 − 1 ; 0 − 0) = (3 ; 0).
  2. ‖KP‖ = √(9 + 0) = 3.

RéponseKP(3 ; 0) et ‖KP‖ = 3.

2Coordonnées du vecteur KM en fonction de x et sa norme.Touche pour voir la correction

À retenir Même formule avec M(x ; 3).

Démarche
  1. KM(x − 1 ; 3 − 0) = (x − 1 ; 3).
  2. ‖KM‖ = √((x − 1)² + 9).

RéponseKM(x − 1 ; 3) et ‖KM‖ = √((x − 1)² + 9).

3Montrer que KP · KM = 3x − 3.Touche pour voir la correction

À retenir Produit scalaire en coordonnées : x x' + y y'.

Démarche
  1. KP · KM = 3 × (x − 1) + 0 × 3 = 3x − 3.

RéponseKP · KM = 3x − 3.

4Montrer que si l'angle PKM vaut π/3, alors x est solution de (E) : √((x − 1)² + 9) = 2x − 2.Touche pour voir la correction

À retenir Deux expressions du produit scalaire : u · v = ‖u‖ ‖v‖ cos(angle) et u · v en coordonnées.

Démarche
  1. KP · KM = ‖KP‖ × ‖KM‖ × cos(π/3) = 3 × √((x − 1)² + 9) × 1/2.
  2. Avec la question 3 : 3x − 3 = (3/2) √((x − 1)² + 9).
  3. On multiplie par 2/3 : 2x − 2 = √((x − 1)² + 9).

Réponsex vérifie √((x − 1)² + 9) = 2x − 2, c'est l'équation (E).

Piège La réciproque n'est pas demandée : (E) est une condition nécessaire, il faut aussi 2x − 2 ≥ 0 (une racine carrée est positive).

5Vérifier que 1 + √3 est solution de (E).Touche pour voir la correction

À retenir On calcule les deux membres séparément pour x = 1 + √3.

Démarche
  1. x − 1 = √3, donc (x − 1)² + 9 = 3 + 9 = 12.
  2. Membre de gauche : √12 = 2√3.
  3. Membre de droite : 2x − 2 = 2(1 + √3) − 2 = 2√3.
  4. Remarque : 2x − 2 = 2√3 > 0, la condition de signe de la racine carrée est bien satisfaite.

RéponseLes deux membres valent 2√3 : 1 + √3 est solution de (E).

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